১৯৪৬ সালে সোভিয়েত তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানী লেভ ল্যান্ডাউ আধুনিক পদার্থবিজ্ঞানের এক বিস্ময়কর আবিষ্কার করেন: সম্পূর্ণ সংঘর্ষহীন (collisionless) প্লাজমার অভ্যন্তরে কোনো ধরনের থার্মোডাইনামিক এন্ট্রপি বৃদ্ধি বা জুল উত্তাপ ছাড়াই একটি স্থির-তড়িৎ তরঙ্গের বিস্তার এক্সপোনেনশিয়াল হারে হ্রাস পেয়ে বিলুপ্ত হতে পারে। এই ঘটনাটি ল্যান্ডাউ ড্যাম্পিং (Landau Damping) নামে পরিচিত, যা জটিল কম্পাঙ্ক সমতলে তরঙ্গ ও কণার ফেজ রেজোন্যান্সের ওপর প্রতিষ্ঠিত।

১. ল্যাপলাস রূপান্তর ও ল্যান্ডাউ কনট্যুর (Bromwich-Landau Contour)

এক-মাত্রিক ক্ষেত্রে রৈখিকীকৃত ভ্লাসভ সমীকরণ:

[
rac{partial f_1}{partial t} + v rac{partial f_1}{partial x} – rac{e}{m_e} E_1 rac{partial f_0}{partial v} = 0
]

স্থানিক ফুরিয়ার রূপান্তর ((e^{ikx})) এবং সময়ের সাপেক্ষে ল্যাপলাস রূপান্তর প্রয়োগ করে তড়িৎক্ষেত্রের মান পাওয়া যায়:

[
ilde{E}_1(k, s) = rac{-rac{e}{ikarepsilon_0} int_{-infty}^infty rac{g(v)}{s + ikv} dv}{D(k, s)}
]

এখানে প্লাজমার ডাই-ইলেকট্রিক ফাংশন (D(k, omega)) সংজ্ঞায়িত হয় ((s = -iomega)):

[
D(k, omega) = 1 – rac{omega_{pe}^2}{k^2} int_C rac{df_0/dv}{v – omega/k} dv = 0
]

যখন (omega)-র কাল্পনিক অংশ থাকে, তখন (v = omega/k) বিন্দুতে একটি মেরু বা পোল (pole) তৈরি হয়। ল্যান্ডাউ প্রমাণ করেন যে কার্যকারণ নীতি (causality) বজায় রাখতে হলে সমাকলনের পথটিকে জটিল বেগ সমতলে পোলের নিচ দিয়ে ঘুরিয়ে নিতে হবে (Landau Contour)।

২. প্লেমেলজ সূত্র ও ড্যাম্পিং হারের প্রতিপাদন

সোখটস্কি-প্লেমেলজ উপপাদ্য ব্যবহার করে পোলের রেজোন্যান্স সমাধান করা যায়:

[
lim_{psilon o 0^+} rac{1}{v – (omega_r/k + ipsilon)} = mathcal{P}left(rac{1}{v – omega_r/k}
ight) + ipi deltaleft(v – rac{omega_r}{k}
ight)
]

দুর্বল ড্যাম্পিংয়ের জন্য টেলর বিস্তারের মাধ্যমে ল্যান্ডাউ ড্যাম্পিং রেট (gamma) নির্ণয় করা যায়:

[
gamma = left. rac{pi omega_{pe}^2 omega_r}{2 k^2} rac{df_0}{dv}
ight|_{v = omega_r/k}
]

একটি তাপীয় ম্যাক্সওয়েলীয় বণ্টনের জন্য ডেরিভেটিভের মান সর্বদা ঋণাত্মক ((rac{df_0}{dv} < 0))। সমীকরণটির পূর্ণাঙ্গ সমাধান দেয় বিখ্যাত ল্যান্ডাউ ড্যাম্পিং সহগ:

[
gamma = -sqrt{rac{pi}{8}} rac{omega_{pe}}{(k lambda_D)^3} xpleft( -rac{1}{2 k^2 lambda_D^2} – rac{3}{2}
ight)
]

এর ভৌত তাৎপর্য চমৎকার: যেসকল কণার বেগ তরঙ্গের ফেজ বেগ অপেক্ষা সামান্য কম ((v < omega/k)), তারা তরঙ্গের তড়িৎক্ষেত্র দ্বারা ত্বরান্বিত হয়ে তরঙ্গ থেকে শক্তি শোষণ করে। আর যেসকল কণার বেগ সামান্য বেশি, তারা শক্তি ছেড়ে দেয়। স্বাভাবিক তাপীয় প্লাজমায় ধীরগতির কণার সংখ্যা দ্রুতগতির কণার চেয়ে বেশি থাকায় তরঙ্গের সামগ্রিক শক্তি ক্ষয়প্রাপ্ত হয়।

শাকিল মাহমুদ সজল

শাকিল মাহমুদ সজল

সফটওয়্যার প্রকৌশলী ও লেখক, ঢাকা, বাংলাদেশ। কম্পিউটার বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, ইতিহাস ও ভাবনার সমন্বয়ে ব্যক্তিগত নোট ও প্রবন্ধ সংকলন।