কোঅপারেটিভ গেমসে “দ্য কোর” জোটগত স্থায়িত্বের এক অনন্য ধারণা হলেও এর দুটি বড় সীমাবদ্ধতা রয়েছে: বহু ক্ষেত্রে কোর সম্পূর্ণ খালি থাকে, আবার অনেক ক্ষেত্রে কোরের ভেতর অসংখ্য সমাধান থাকে যার মধ্যে কোনটি নৈতিক, দার্শনিক বা অর্থনৈতিকভাবে ন্যায়সঙ্গত (Fair) তা কোর বলতে পারে না। ধরা যাক কয়েকটি এয়ারলাইন্স মিলে একটি নতুন রানওয়ে তৈরি করবে; কার কত টাকা দেওয়া উচিত? একটি দলীয় গবেষণায় একটি জীবনরক্ষাকারী ওষুধের পেটেন্ট আবিষ্কৃত হলো; কোন বিজ্ঞানীর লভ্যাংশের ভাগ কত হওয়া উচিত? ১৯৫৩ সালে উনত্রিশ বছর বয়সী গণিতবিদ লয়েড শ্যাপলে মাত্র পাঁচ পৃষ্ঠার একটি গবেষণাপত্রে এই ঐতিহাসিক সমস্যার নিখুঁত ও চূড়ান্ত সমাধান দেন: দ্য শ্যাপলে ভ্যালু (The Shapley Value)।
ন্যায্যতার চারটি স্বতঃসিদ্ধ স্তম্ভ
লয়েড শ্যাপলে কোনো মনস্তাত্ত্বিক অনুমানের ওপর নির্ভর না করে চারটি অবিসংবাদিত ন্যায়নীতির স্বতঃসিদ্ধ (Axioms) দাঁড় করালেন:
- দক্ষতা (Efficiency): $sum phi_i = v(N)$। গ্র্যান্ড কোয়ালিশনের উৎপাদিত মোট সম্পদ পুরোপুরি বণ্টিত হতে হবে; কোনো অংশ অপচয় বা অবণ্টিত রাখা যাবে না।
- প্রতিসাম্য (Symmetry): দুজন খেলোয়াড় যদি প্রতিটি সম্ভাব্য জোটে সমান অবদান রাখে, তবে তাদের প্রাপ্ত আয়ও সম্পূর্ণ সমান হতে হবে। কোনো পক্ষপাত চলবে না।
- নিষ্ক্রিয় খেলোয়াড় (Null Player): কোনো খেলোয়াড় যদি কোনো জোটে কোনো অতিরিক্ত মূল্য যোগ করতে না পারে, তবে সে কোনো লভ্যাংশ পাবে না ($phi_i = ০$)।
- যোজনযোগ্যতা (Additivity): দুটি স্বাধীন খেলা একসাথে যুক্ত হলে মোট বণ্টন হবে পৃথক বণ্টনের যোগফলের সমান ($phi(u + w) = phi(u) + phi(w)$)।
শ্যাপলে ভ্যালুর মূল সূত্র
লয়েড শ্যাপলে প্রমাণ করলেন যে এই চারটি স্বতঃসিদ্ধকে একসাথে পূরণ করতে পারে এমন ঠিক একটিমাত্র গাণিতিক অপারেটর মহাবিশ্বে বিদ্যমান। সেই সূত্রটি হলো সকল সম্ভাব্য পারমিউটেশনে একজন খেলোয়াড়ের প্রান্তিক অবদানের প্রত্যাশিত গড়:
$$phi_i(v) = sum_{S subseteq N setminus {i}} frac{|S|! (n – |S| – 1)!}{n!} left[ v(S cup {i}) – v(S) right]$$
এর চমৎকার সমন্বয় তত্ত্বটি অনুধাবন করুন:
- ধরা যাক $n$ জন খেলোয়াড় এলোমেলো ক্রমে একে একে ঘরে প্রবেশ করছে। তাদের আসার মোট সম্ভাব্য ক্রম হলো $n!$ টি।
- খেলোয়াড় $i$ যখন ঘরে ঢোকে, সে তার পূর্বে উপস্থিত জোট $S$-এ যুক্ত হয় এবং তার আগমনের ফলে জোটে নতুন সম্পদ যোগ হয় $[v(S cup {i}) – v(S)]$।
- সকল সম্ভাব্য ক্রমের ওপর এই প্রান্তিক অবদানের গড় হিসাব করাই হলো শ্যাপলে ভ্যালু।
আধুনিক প্রয়োগ: রানওয়ের খরচ বণ্টন থেকে এক্সপ্লেইনেবল এআই
শ্যাপলে ভ্যালু আজ বিশুদ্ধ গণিতের গণ্ডি পেরিয়ে আধুনিক প্রকৌশল ও কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তার অন্যতম প্রধান ভিত্তি:
- বিমানবন্দরের রানওয়ের মূল্য নির্ধারণ: ছোট বিমান, মাঝারি জেট ও জাম্বো জেটের যৌথ রানওয়ে নির্মাণের খরচ নির্ধারণের জন্য শ্যাপলে মডেল বিশ্বজুড়ে স্বীকৃত।
- জাতিসংঘের ভোটাধিকার বিশ্লেষণ: নিরাপত্তা পরিষদে ভেটো ক্ষমতার প্রকৃত রাজনৈতিক প্রভাব পরিমাপে শ্যাপলে-শুবিক ইনডেক্স ব্যবহৃত হয়।
- মেশিন লার্নিংয়ে SHAP ব্যাখ্যা: একটি ডিপ নিউরাল নেটওয়ার্ক কোনো রোগীর রোগের পূর্বাভাস দিলে কোন ইনপুট প্যারামিটার কতটুকু দায়ী, তা পরিমাপের জন্য শ্যাপলে ভ্যালু ব্যবহৃত হয়, যা বর্তমানে Explainable AI (XAI)-এর বৈশ্বিক গোল্ড স্ট্যান্ডার্ড।
