১৯৬০-এর দশকের শেষভাগ পর্যন্ত গেম থিওরি একটি অবাস্তব কল্পনার ওপর দাঁড়িয়ে ছিল: ধারণা করা হতো সকল খেলোয়াড় প্রতিপক্ষের লক্ষ্য, পে-অফ এবং মনস্তাত্ত্বিক উদ্দেশ্য সম্পর্কে সম্পূর্ণ তথ্য (Complete Information) রাখে। কিন্তু বাস্তব পৃথিবীতে এমন নিখুঁত স্বচ্ছতা অসম্ভব: যুদ্ধে কোনো জেনারেল জানে না শত্রুপক্ষের গোপন অস্ত্র কত শক্তিশালী; শেয়ার বাজারে বিনিয়োগকারী জানে না উদ্যোক্তার প্রযুক্তিটি আসল নাকি প্রতারণা। বিশ বছর ধরে এই তথ্যের অস্বচ্ছতা গেম থিওরিকে বাস্তব অর্থনীতিতে প্রয়োগের ক্ষেত্রে পঙ্গু করে রেখেছিল। ১৯৬৭ সালে হাঙ্গেরীয় অর্থনীতিবিদ জন হারসানিয়ি ম্যানেজমেন্ট সায়েন্স জার্নালে তিন খণ্ডে এমন এক তত্ত্ব প্রকাশ করেন যা তথ্যের এই গোলকধাঁধা চিরতরে সমাধান করে, যার স্বীকৃতিস্বরূপ তিনি ১৯৯৪ সালে অর্থনীতিতে নোবেল পুরস্কার লাভ করেন।
বিশ্বাসের অসীম গোলকধাঁধা
অসম্পূর্ণ তথ্যকে কেন আগে গাণিতিকভাবে মডেল করা যেত না? কারণ এটি মনস্তাত্ত্বিক অনুমানের এক অন্তহীন অনন্ত চক্র তৈরি করত: “আমি ভাবছি সে ভাবছে আমি কী ভাবছি তার সামর্থ্য সম্পর্কে…” অনুমানের ওপর অনুমানের এই স্তর অনন্তকাল ধরে চলত।
হারসানিয়ি রূপান্তর: প্রকৃতির আগমন
হারসানিয়ির যুগান্তকারী প্রতিভা ছিল এই বিশ্বাসের অনন্ত চক্রকে একটি কাল্পনিক নিরপেক্ষ শক্তি প্রকৃতি (Nature)-র চাল দিয়ে প্রতিস্থাপন করা।
- একজন খেলোয়াড়ের সমস্ত ব্যক্তিগত বৈশিষ্ট্য (তার উৎপাদন খরচ, ঝুঁকি নেওয়ার প্রবণতা বা মূল্যায়ন) একটি চলকের মধ্যে আবদ্ধ করা হয় যাকে তার টাইপ ($theta_i$) বলা হয়।
- খেলা শুরু হওয়ার আগে প্রকৃতি প্রথম চাল দেয়। প্রকৃতি একটি যৌথ সম্ভাব্যতা বণ্টন $p(theta)$ অনুযায়ী খেলোয়াড়দের টাইপ নির্ধারণ করে।
- প্রতিটি খেলোয়াড় কেবল তার নিজের টাইপ $theta_i$ দেখতে পায়, কিন্তু প্রতিপক্ষের টাইপ দেখতে পায় না।
- নিজের টাইপ জানার পর খেলোয়াড় বায়েজের সূত্র (Bayes’ Rule) ব্যবহার করে প্রতিপক্ষের সম্ভাব্য টাইপ সম্পর্কে তার বিশ্বাস আপডেট করে:
$$p(theta_{-i} mid theta_i) = frac{p(theta_i, theta_{-i})}{sum p(theta_i, theta’_{-i})}$$
এই রূপান্তরের মাধ্যমে একটি অসম্ভব অসম্পূর্ণ তথ্যের খেলা নিখুঁতভাবে রূপান্তরিত হলো অপূর্ণ তথ্যের (Imperfect Information) সাধারণ গেম ট্রিতে।
বায়েসিয়ান ন্যাশ সাম্যাবস্থা
বায়েসিয়ান গেমে একটি কৌশল কেবল একটি সাধারণ চাল নয়; এটি হলো একটি ফাংশন $s_i(theta_i)$ যা যেকোনো টাইপের ক্ষেত্রে খেলোয়াড়ের সর্বোত্তম চাল নির্ধারণ করে।
একটি কৌশল প্রোফাইল $s^*$ হলো বায়েসিয়ান ন্যাশ সাম্যাবস্থা (BNE) যদি প্রতিটি খেলোয়াড় তার নিজের জানা টাইপের প্রেক্ষিতে প্রতিপক্ষের সম্ভাব্য টাইপের চালের বিপরীতে প্রত্যাশিত উপযোগিতা সর্বোচ্চ করে:
$$sum_{theta_{-i}} p(theta_{-i} mid theta_i) u_i(s_i^*(theta_i), s_{-i}^*(theta_{-i})) ge sum_{theta_{-i}} p(theta_{-i} mid theta_i) u_i(a_i, s_{-i}^*(theta_{-i}))$$
হারসানিয়ির এই তত্ত্ব ছাড়া নিলামের কৌশল, শেয়ার বাজারের বাণিজ্য, বীমা চুক্তির ডিজাইন বা সাইবার নিরাপত্তার বিশ্লেষণ গাণিতিকভাবে সংজ্ঞায়িত করা অসম্ভব হতো।
