গেম থিওরি ও মেকানিজম ডিজাইন (পর্ব ৫): পুনরাবৃত্ত খেলা ও ফোক থিওরেম — ভবিষ্যতের ছায়া ও টিট-ফর-ট্যাট

প্রিজনার্স ডিলেমা যদি প্রমাণ করে থাকে যে একমাত্রিক দ্বৈরথে যৌক্তিক মানুষ পারস্পরিক ধ্বংসের দিকে যেতে বাধ্য, তবে বাস্তব জীবন এক পরম বিস্ময় উপস্থাপন করে: মানব সমাজ, জৈবিক বাস্তুতন্ত্র এবং আন্তর্জাতিক বাণিজ্য প্রতিদিন বিপুল পরিমাণ বিশ্বাস ও সহযোগিতার ওপর ভর করে টিকে আছে। এর কারণ কী? কারণ মানবজীবনে সামাজিক মিথস্ক্রিয়া কখনো একক বিচ্ছিন্ন ঘটনা নয়। আমরা একই সহকর্মী, একই ব্যবসায়ী এবং একই প্রতিদ্বন্দ্বীর সাথে দিনের পর দিন, বছরের পর বছর লেনদেন করি। ১৯৫০-এর দশকে গেম তাত্ত্বিকরা এই বিস্ময়কর বাস্তবতাকেই গণিতের ইতিহাসে অন্যতম সেরা ফলাফলে রূপ দেন: পুনরাবৃত্ত খেলার ফোক থিওরেম (The Folk Theorem)।

পুনরাবৃত্ত খেলার জ্যামিতি ও ডিসকাউন্ট ফ্যাক্টর

ধরা যাক একটি মৌলিক খেলা $G$ সময়রেখায় অনন্তকাল ধরে বারবার খেলা হচ্ছে ($t = ০, ১, ২, dots, infty$)। প্রতিটি ধাপে খেলোয়াড়রা পূর্ববর্তী সকল চালের পূর্ণ ইতিহাস প্রত্যক্ষ করতে পারে। ভবিষ্যতের পে-অফ আজকের চেয়ে কম মূল্যবান হওয়ায় খেলোয়াড়রা তাদের ভবিষ্যৎ আয়কে একটি সূচকীয় ডিসকাউন্ট ফ্যাক্টর $delta in (০, ১)$ দিয়ে মূল্যায়ন করে:

$$U_i = (1 – delta) sum_{t=0}^infty delta^t u_i(a^t)$$

এখানে $delta$ নির্দেশ করে খেলোয়াড়ের ধৈর্য (Time Preference) এবং আগামী পর্বেও এই খেলা চলমান থাকার সম্ভাবনা।

মিনিম্যাক্স থ্রেট পয়েন্ট ও ফোক থিওরেম

পুনরাবৃত্ত খেলায় দীর্ঘমেয়াদে কোনো খেলোয়াড়কে সর্বনিম্ন যে শাস্তি দেওয়া সম্ভব, তা হলো তার মিনিম্যাক্স মান $underline{v}_i$। কোনো যুক্তিশীল খেলোয়াড়কে এই মানের নিচে নামানো অসম্ভব, কারণ সে সবসময় মিনিম্যাক্স প্রতিরক্ষা চালিয়ে অন্তত $underline{v}_i$ নিশ্চিত করতে পারে। যে পে-অফ ভেক্টরে সবার আয় $underline{v}_i$-এর চেয়ে বেশি, তাকে ব্যক্তিগতভাবে যুক্তিযুক্ত পে-অফ (Individually Rational Payoff) বলে।

ফ্রিডম্যান-অম্যান ফোক থিওরেম ঘোষণা করে:

ট্রিগার স্ট্র্যাটেজি: গ্রিম ট্রিগার বনাম টিট-ফর-ট্যাট

কোনো কেন্দ্রীয় পুলিশ বা আদালত ছাড়া এই সহযোগিতা কীভাবে টিকে থাকে? প্রতিশোধের বিশ্বাসযোগ্য কাঠামোর মাধ্যমে:

• গ্রিম ট্রিগার (Grim Trigger): আমি আজীবন সহযোগিতা করে যাব যতক্ষণ তুমি সহযোগিতা করবে। কিন্তু তুমি যদি একবারও বিশ্বাসঘাতকতা করো, আমি বাকি অনন্তকাল তোমাকে শাস্তি দেব।
  এককালীন বিশ্বাসঘাতকতার লাভ ($T$) এবং আজীবনের শাস্তি ($P$)-এর বিপরীতে আজীবনের সহযোগিতার লাভ ($R$) তুলনা করলে শর্ত দাঁড়ায়:
  $$delta ge frac{T – R}{T – P}$$
  যদি খেলোয়াড়ের ভবিষ্যৎ বিবেচনা এই থ্রেশহোল্ড অতিক্রম করে, তবে বর্তমানের লোভ ভবিষ্যতের চরম ভয়ের কাছে পরাস্ত হয়।
• টিট-ফর-ট্যাট (Tit-for-Tat): রবার্ট অ্যাক্সেলরডের বিখ্যাত টুর্নামেন্টে দেখা গেছে সবচেয়ে সরল কৌশলটি সব জটিল কৌশলকে হারিয়ে দিয়েছে। টিট-ফর-ট্যাট প্রথমে সহযোগিতা করে, তারপর প্রতিপক্ষ আগের চালে যা করেছিল হুবহু তা-ই করে। এটি ভদ্র (নিজে আগে প্রতারণা করে না), প্রতিশোধপরায়ণ (প্রতারণার তাৎক্ষণিক জবাব দেয়), ক্ষমাশীল (প্রতিপক্ষ ভালো হলে তৎক্ষণাৎ সহযোগিতা ফিরিয়ে আনে) এবং স্বচ্ছ।

শাকিল মাহমুদ সজল

সফটওয়্যার প্রকৌশলী ও লেখক, ঢাকা, বাংলাদেশ। কম্পিউটার বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, ইতিহাস ও ভাবনার সমন্বয়ে ব্যক্তিগত নোট ও প্রবন্ধ সংকলন।