নন-কোঅপারেটিভ গেম থিওরিতে স্বতন্ত্র খেলোয়াড়রা বিচ্ছিন্নভাবে নিজেদের স্বার্থে চাল দেয়, তাদের মাঝে কোনো আইনত বাধ্যতামূলক চুক্তি করার সুযোগ থাকে না। কিন্তু মানব ইতিহাস, বৈশ্বিক অর্থনীতি এবং রাজনীতির পরতে পরতে মানুষ জোট, ট্রেড ইউনিয়ন, ব্যবসায়িক কার্টেল এবং সার্বভৌম ফেডারেশন গঠন করে: ওপেক (OPEC) তেলের উৎপাদন সমন্বয় করে; সার্বভৌম রাষ্ট্রগুলো যৌথ সামরিক জোট (ন্যাটো) গঠন করে। খেলোয়াড়রা যখন আইনত বা কোডের মাধ্যমে বাধ্যতামূলক চুক্তি করতে পারে, তখন কৌশলগত প্রশ্নটি আমূল বদলে যায়: একটি যৌথ জোট দ্বারা উৎপাদিত মোট সম্পদ কীভাবে বণ্টন করলে কোনো উপ-দল বা ভগ্নাংশ দল বিদ্রোহ করে বের হয়ে যাওয়ার প্রণোদনা পাবে না? এটিই হলো কোঅপারেটিভ গেম থিওরি (Cooperative Game Theory) এবং দ্য কোর (The Core)-এর জ্যামিতিক জগৎ।
বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন ও ট্রান্সফারেবল ইউটিলিটি
ট্রান্সফারেবল ইউটিলিটিযুক্ত একটি কোঅপারেটিভ খেলা $(N, v)$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়, যেখানে $N$ হলো খেলোয়াড়দের সেট এবং $v(S)$ হলো একটি কোয়ালিশন বা জোট $S$-এর অর্জিত মোট অর্থনৈতিক মূল্য।
অধিকাংশ অর্থনৈতিক পরিস্থিতিতে সুপার-অ্যাডিটিভিটি (Superadditivity) বিদ্যমান থাকে: দুটি আলাদা জোট এক হলে তাদের যৌথ উৎপাদন কখনোই তাদের পৃথক উৎপাদনের যোগফলের চেয়ে কম হতে পারে না ($v(S cup T) ge v(S) + v(T)$)। এর ফলে সমাজের সবার সমন্বয়ে গঠিত গ্র্যান্ড কোয়ালিশন (Grand Coalition) $N$-এ মোট সম্পদ সর্বোচ্চ হয় ($v(N)$)। মূল প্রশ্ন হলো: এই সম্পদ কীভাবে ভাগ করা উচিত?
কোর (The Core)-এর সংজ্ঞা
একটি বণ্টন ভেক্টর $x = (x_1, dots, x_n)$ হলো মোট সম্পদের বণ্টন। যদি কোনো উপ-জোট $S$ দেখে যে জোটবদ্ধ হয়ে তারা $v(S)$ অর্জন করতে পারে যা তাদের প্রস্তাবিত বণ্টনের যোগফল $sum_{i in S} x_i$-এর চেয়ে বেশি, তবে তারা এই বণ্টন প্রত্যাখ্যান করে ব্লক (Block) করবে এবং গ্র্যান্ড কোয়ালিশন ভেঙে দেবে।
দ্য কোর হলো সেই সকল বণ্টনের সেট যাকে কোনো জোটই কখনো ব্লক করতে পারে না:
$$text{Core}(v) = left{ x in mathbb{R}^n ;middle|; sum_{i in N} x_i = v(N) quad text{এবং} quad sum_{i in S} x_i ge v(S), ; forall S subseteq N right}$$
জ্যামিতিকভাবে কোর হলো একটি উত্তল পলিটোপ (Convex Polytope)। কোরে থাকা যেকোনো বণ্টন হলো একটি স্থায়ী রাজনৈতিক ও অর্থনৈতিক ভারসাম্য—কোনো বিদ্রোহী পক্ষই সেখান থেকে বের হয়ে ভালো থাকার কোনো বাস্তবসম্মত হুমকি দিতে পারে না।
বনদারেভা-শ্যাপলে উপপাদ্য: কোর কখন বিদ্যমান থাকে?
সব খেলায় কি কোর বিদ্যমান থাকে? আশ্চর্যজনকভাবে উত্তর হলো: না। সাধারণ সংখ্যাগরিষ্ঠ ভোটের খেলায় যেখানে তিনজন ১০০ ডলার ভাগাভাগি করে, সেখানে কোর সম্পূর্ণ শূন্য! যেকোনো দুইজনের চুক্তিকে তৃতীয়জন এসে অপর একজনকে বেশি দিয়ে ভেঙে ফেলতে পারে।
১৯৬৩ সালে ওলগা বনদারেভা এবং লয়েড শ্যাপলে স্বাধীনভাবে প্রমাণ করেন যে একটি কোঅপারেটিভ খেলায় কোর বিদ্যমান থাকার একমাত্র ও অপরিহার্য শর্ত হলো খেলাটিকে ব্যালান্সড (Balanced) হতে হবে। লিনিয়ার প্রোগ্রামিং ডুয়ালিটির ওপর প্রতিষ্ঠিত এই উপপাদ্যটি আধুনিক অর্থনীতিতে রিসোর্স পুলিং ও জোট গঠনের পরম ভিত্তিপ্রস্তর।
