সূর্যের সমান বা মধ্যম ভরের নক্ষত্রগুলো ($M le ৮ M_odot$) তাদের পারমাণবিক জ্বালানি নিঃশেষ করার পর বহিরাবরণ মহাকাশে ছড়িয়ে দিয়ে উন্মোচিত করে এক অতি-ঘন মহাজাগতিক অঙ্গার: শ্বেত বামন (White Dwarf)। একটি আস্ত সূর্যের সমান ভর যখন পৃথিবীর মতো ক্ষুদ্র আয়তনে সংকুচিত হয়, তখন তা আর কোনো তাপীয় গ্যাসীয় চাপে নয়, বরং পাউলির বর্জন নীতি মেনে চলা ইলেকট্রনের কোয়ান্টাম ডিগ্রেসি চাপ (Electron Degeneracy Pressure) দ্বারা স্থিতিশীল থাকে। ১৯৩০ সালে মাত্র ১৯ বছর বয়সে ভারতীয় জ্যোতিঃপদার্থবিদ সুব্রহ্মণ্যন চন্দ্রশেখর প্রমাণ করেন যে এই কোয়ান্টাম ভারসাম্যের একটি পরম আপেক্ষিক সীমা রয়েছে: চন্দ্রশেখর সীমা (Chandrasekhar Limit)।
১. ফার্মি-ডিরাক পরিসংখ্যান ও ডিগ্রেসি চাপ
ইলেকট্রন হলো স্পিন-$frac{১}{২}$ বিশিষ্ট ফার্মিয়ন কণা। পাউলির বর্জন নীতি অনুসারে দুটি ইলেকট্রন কখনো একই কোয়ান্টাম দশায় থাকতে পারে না। তীব্র মহাকর্ষীয় চাপে যখন কণাগুলোকে কাছাকাছি আনা হয়, তখন তারা একে অপরের ওপর প্রচণ্ড কোয়ান্টাম বলপ্রয়োগ করে এবং উচ্চতর শক্তিস্তরে উন্নীত হতে বাধ্য হয়। পরম শূন্য তাপমাত্রায় ইলেকট্রনের সর্বোচ্চ ভরবেগকে বলা হয় ফার্মি ভরবেগ (Fermi Momentum):
p_F = hbar left( 3pi^2 n_e right)^{1/3} = hbar left( frac{3pi^2 rho Y_e}{m_u} right)^{1/3}
যেখানে $n_e$ হলো ইলেকট্রন ঘনত্ব, $rho$ হলো মোট ভর ঘনত্ব এবং $Y_e = Z/A$ হলো পারমাণবিক ভর অনুপাত (কার্বন-অক্সিজেন শ্বেত বামনে এর মান প্রায় ০.৫)।
২. অ-আপেক্ষিক বনাম আল্ট্রা-আপেক্ষিক সমীকরণ
ইলেকট্রনগুলোর গতিবেগ আলোর বেগের কাছাকাছি পৌঁছায় কি না, তার ওপর নির্ভর করে শ্বেত বামনের অভ্যন্তরীণ চাপ:
- অ-আপেক্ষিক ক্ষেত্র ($p_F ll m_e c$): ইলেকট্রনের গতিবেগ কম থাকলে গতিশক্তি $E_k = p^2 / (2m_e)$। ফলে চাপ ঘনত্বের সাথে পরিবর্তিত হয় নিম্নরূপে:
P_{text{non-rel}} propto rho^{5/3}
এই ক্ষেত্রে শ্বেত বামনের ভর বাড়লে তার ব্যাসার্ধ হ্রাস পায় ($R propto M^{-1/3}$)। নক্ষত্রটি স্থিতিশীল থাকে।
- আল্ট্রা-আপেক্ষিক ক্ষেত্র ($p_F gg m_e c$): কিন্তু নক্ষত্রের ভর বৃদ্ধির সাথে সাথে ঘনত্ব এত বেড়ে যায় যে ইলেকট্রনগুলো আলোর কাছাকাছি বেগে ছুটতে থাকে ($v to c$)। তখন গতিশক্তি হয়ে যায় $E_k approx p c$, এবং চাপ রূপান্তরিত হয়:
P_{text{rel}} propto rho^{4/3}
সূচক ৫/৩ থেকে কমে ৪/৩-এ নেমে আসায় সামগ্রিক চাপ মারাত্মকভাবে দুর্বল হয়ে পড়ে।
৩. চন্দ্রশেখর সীমার গাণিতিক প্রতিপাদন
একটি নক্ষত্রের অভ্যন্তরীণ মহাকর্ষীয় পতনের চাপ ঘনত্বের সাথে সম্পর্কিত:
P_{text{grav}} sim frac{G M^2}{R^4} sim G M^{2/3} rho^{4/3}
লক্ষণীয় যে আল্ট্রা-আপেক্ষিক কোয়ান্টাম চাপ এবং মহাকর্ষীয় চাপ—উভয়ই ঘনত্বের একই ঘাতের ($rho^{4/3}$) ওপর নির্ভরশীল! অর্থাৎ, নক্ষত্রটি যতই সংকুচিত হোক না কেন, মহাকর্ষের বিরুদ্ধে টিকে থাকার কোনো অতিরিক্ত শক্তি সে আর তৈরি করতে পারে না। এই দুই সমীকরণকে সমান ধরে একটি পরম ভরের মান প্রতিপাদন করা হয়:
M_{text{Ch}} = frac{omega_3^0 sqrt{3pi}}{2} left( frac{hbar c}{G} right)^{3/2} left( frac{Y_e}{m_u} right)^2 approx ১.৪৪ M_odot
এই ১.৪৪ সৌর ভরই হলো চন্দ্রশেখর সীমা। কোনো শ্বেত বামনের ভর যদি এই সীমা অতিক্রম করে, তবে ইলেকট্রন ডিগ্রেসি চাপ মহাকর্ষকে ধরে রাখতে সম্পূর্ণরূপে ব্যর্থ হয়—নক্ষত্রটি চরম মহাকর্ষীয় পতনের মুখে পড়ে নিউট্রন তারায় পরিণত হয় অথবা টাইপ ১এ সুপারনোভা হিসেবে বিস্ফোরিত হয়ে মহাবিশ্বে বিলীন হয়ে যায়।
