মহাকর্ষ কোনো অদৃশ্য নিউটনীয় দূরবর্তী বল নয় যা শূন্য ইউক্লিডীয় স্থানে তাৎক্ষণিকভাবে ক্রিয়া করে; এটি মূলত চার মাত্রিক সিউডো-রিম্যানিয়ান স্থান-কালের বক্রতার (Pseudo-Riemannian Spacetime Curvature) বহিঃপ্রকাশ। ১৯১৫ সালে আলবার্ট আইনস্টাইন প্রতিপাদন করেন যে, অভিকর্ষীয় ক্ষেত্রে মুক্তভাবে পতনশীল বস্তুগুলো স্থান-কালের সবচেয়ে সোজা পথ—জিওডেসিক (Geodesic)—অনুসরণ করে চলে, যার জ্যামিতি স্থানীয় ভর, শক্তি ও ভরবেগের বণ্টন দ্বারা অনবরত নির্ধারিত হয়।
১. মেট্রিক টেনসর ও স্থান-কালের অপরিবর্তনীয় ব্যবধান
লরেন্টজিয়ান ম্যানিফোল্ডে স্থান-কালের ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র রৈখিক ব্যবধান (Line Element) মেট্রিক টেনসর $g_{munu}$-এর মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত হয়:
ds^2 = g_{munu} dx^mu dx^nu
যেখানে মেট্রিক টেনসর $g_{munu}$ একটি প্রতিসম টেনসর ($g_{munu} = g_{numu}$)। এই মেট্রিক স্থান-কালের যেকোনো দুটি ফোর-ভেক্টরের মধ্যবর্তী স্কেলার গুণফল নির্ধারণ করে এবং মহাবিশ্বের কার্যকারণ কাঠামোকে (Causal Structure) তিনটি ভাগে বিভক্ত করে: টাইমলাইক ($ds^2 0$)।
২. কোভেরিয়েন্ট ব্যবকলন ও লেভি-সিভিটা সংযোগ
বক্র স্থান-কালে স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা স্থানভেদে পরিবর্তিত হওয়ায় সাধারণ আংশিক অন্তরক $partial_mu$ কোনো টেনসরীয় বৈশিষ্ট্য রক্ষা করতে পারে না। এজন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় কোভেরিয়েন্ট ডেরিভেটিভ (Covariant Derivative) $nabla_mu$ এবং ক্রিস্টোফেল সিম্বল (লেভি-সিভিটা সংযোগ):
nabla_mu V^nu = partial_mu V^nu + Gamma^nu_{mulambda} V^lambda
Gamma^sigma_{munu} = frac{1}{2} g^{sigmalambda} left( partial_mu g_{nulambda} + partial_nu g_{mulambda} – partial_lambda g_{munu} right)
মেট্রিক সামঞ্জস্যতার কারণে মেট্রিক টেনসরের কোভেরিয়েন্ট ব্যবকলন সর্বদা শূন্য হয়: $nabla_sigma g_{munu} equiv 0$।
৩. জিওডেসিক গতি ও সমতা নীতি
দুর্বল সমতা নীতি (Weak Equivalence Principle) অনুসারে অভিকর্ষীয় ক্ষেত্রে যেকোনো বস্তুর ত্বরণ তার ভরের ওপর নির্ভর করে না। বক্র স্থান-কালে যেকোনো মুক্ত বস্তুর গতি জিওডেসিক সমীকরণ মেনে চলে:
frac{d^2 x^mu}{dlambda^2} + Gamma^mu_{alphabeta} frac{dx^alpha}{dlambda} frac{dx^beta}{dlambda} = 0
যেখানে $lambda$ হলো একটি অ্যাফাইন প্যারামিটার (বা সঠিক সময় $tau$)। দুটি সন্নিহিত কণার মধ্যকার জোয়ার-ভাটা বল (Tidal Force) জিওডেসিক বিচ্যুতি সমীকরণের মাধ্যমে সরাসরি রিম্যান বক্রতা টেনসরের সাথে সম্পর্কিত:
frac{D^2 xi^mu}{Dtau^2} = R^mu_{;nualphabeta} u^nu u^alpha xi^beta
৪. রিম্যান বক্রতা টেনসর ও আইনস্টাইনের ক্ষেত্র সমীকরণ
একটি ভেক্টরের ওপর কোভেরিয়েন্ট ডেরিভেটিভের অ-বিনিময়যোগ্যতা স্থান-কালের মৌলিক বক্রতা পরিমাপ করে:
[nabla_mu, nabla_nu] V^rho = R^rho_{;sigmamunu} V^sigma
রিম্যান টেনসরকে সংকুচিত করে আমরা পাই রিচি টেনসর $R_{munu}$ এবং রিচি স্কেলার $R$। স্থান-কালের জ্যামিতির সাথে পদার্থের শক্তির ঘনত্বকে একীভূত করে রচিত হয় অমর আইনস্টাইন ফিল্ড সমীকরণ:
G_{munu} + Lambda g_{munu} = frac{8pi G}{c^4} T_{munu}
যেখানে আইনস্টাইন টেনসর $G_{munu} = R_{munu} – frac{1}{2} R g_{munu}$ সরাসরি বিয়ানকি অভেদ ($nabla^mu G_{munu} equiv 0$) মেনে চলে, যা স্বয়ংক্রিয়ভাবে স্থানীয় ভর-শক্তি ও ভরবেগের নিত্যতা ($nabla^mu T_{munu} = 0$) নিশ্চিত করে।
