তরল যখন অসংকোচনীয় ((
abla cdot mathbf{u} = 0)) এবং একই সাথে অঘূর্ণনশীল ((
abla imes mathbf{u} = mathbf{0})) হয়, তখন জটিল নন-লিনিয়ার নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণ এক অলৌকিক রূপান্তরের মাধ্যমে লাপলাসের সমীকরণে পরিণত হয়। এর ফলে জটিল বিশ্লেষণ (Complex Analysis) এবং কনফর্মাল ম্যাপিংয়ের মতো বিশুদ্ধ গণিতের শক্তিশালী হাতিয়ার প্রয়োগ করে তরল প্রবাহের নিখুঁত বিশ্লেষণ সম্ভব হয়।

১. বেগ বিভব ও স্ট্রিম ফাংশন

অঘূর্ণনশীল প্রবাহের ক্ষেত্রে বেগ ক্ষেত্রকে একটি স্কেলার বেগ বিভব ((phi)) এর গ্র্যাডিয়েন্ট হিসেবে প্রকাশ করা যায়: (mathbf{u} =
abla phi)। অসংকোচনীয়তার শর্তে এটি রূপান্তরিত হয় লাপলাস সমীকরণে:

[

abla^2 phi = 0
]

দ্বিমাত্রিক প্রবাহে একই সাথে একটি স্ট্রিম ফাংশন ((psi)) বিদ্যমান থাকে যা প্রবাহ রেখাগুলোকে নির্দেশ করে:

[
u = rac{partial phi}{partial x} = rac{partial psi}{partial y}, quad v = rac{partial phi}{partial y} = -rac{partial psi}{partial x}
]

এই সমীকরণ দুটি গণিতের বিখ্যাত কশি-রিম্যান সমীকরণ (Cauchy-Riemann Equations)। এর ফলে সমগ্র প্রবাহ ক্ষেত্রটিতে বিভব রেখা ও স্ট্রিম রেখা পরস্পরকে সমকোণে ছেদ করে একটি নিখুঁত জালিকাকার রূপ তৈরি করে।

২. জটিল বিভব (Complex Potential)

জটিল স্থানাঙ্ক (z = x + i y) ব্যবহার করে বেগ বিভব ও স্ট্রিম ফাংশনকে একটিমাত্র হলোমরফিক ফাংশনে একীভূত করা যায়:

[
w(z) = phi(x, y) + i psi(x, y)
]

এই ফাংশনের অন্তরক নিলে পাওয়া যায় জটিল বেগ: (rac{dw}{dz} = u – iv)। বেগের পরম মান হলো (|dw/dz|)।

৩. মৌলিক উপাদানের সুপারপজিশন

যেহেতু লাপলাস সমীকরণ রৈখিক, তাই সরল উপাদান যোগ করে জটিল বস্তুর চারপাশের প্রবাহ তৈরি করা যায়:

  • সুষম প্রবাহ: (w = U_infty z)
  • উৎস/সিঙ্ক: (w = rac{m}{2pi} ln z)
  • ঘূর্ণি (Vortex): (w = -rac{iGamma}{2pi} ln z)
  • ডাইপোল (Doublet): (w = rac{mu}{2pi z})

একটি সুষম প্রবাহ, একটি ডাইপোল এবং একটি ঘূর্ণি যোগ করলে সিলিন্ডারের ওপর দিয়ে প্রবাহিত তরলের রূপ পাওয়া যায়:

[
w(z) = U_infty left( z + rac{R^2}{z}
ight) + rac{iGamma}{2pi} ln left( rac{z}{R}
ight)
]

এখানে সার্কুলেশন (Gamma) যোগ করার ফলে ওপরের পৃষ্ঠে তরলের বেগ বৃদ্ধি পায় এবং বার্নোলির নীতি অনুযায়ী চাপ হ্রাস পেয়ে উত্তোলন বল (Lift) উৎপন্ন হয়।

৪. ঝুকোভস্কি রূপান্তর ও ডি’আলেমবার্ট প্যারাডক্স

ঝুকোভস্কি রূপান্তর ((zeta = z + c^2 / z)) ব্যবহার করে একটি সাধারণ বৃত্তাকার প্রবাহকে মুহূর্তে একটি নিখুঁত বিমানের ডানার (Airfoil) প্রবাহে রূপান্তর করা যায়। কুত্তা কন্ডিশন প্রয়োগ করে ডানার পেছনের ধারালো প্রান্ত দিয়ে মসৃণ প্রবাহ নিশ্চিত করা হয়।

তবে আদর্শ সান্দ্রতাহীন প্রবাহে বার্নোলির নীতি প্রয়োগ করে যেকোনো বদ্ধ বস্তুর ওপর ড্র্যাগ বল হিসাব করলে দেখা যায় মোট ড্র্যাগ বল শূন্য:

[
F_{ ext{drag}} quiv 0
]

১৭৫২ সালে জিন ডি’আলেমবার্ট এই বিভ্রান্তিকর ফলাফল আবিষ্কার করেন যা ডি’আলেমবার্ট প্যারাডক্স নামে পরিচিত। বাস্তবে সান্দ্রতার কারণে সীমানা প্রাচীরে বাউন্ডারি লেয়ার আলাদা হয়ে যাওয়ার ফলেই বাস্তব ড্র্যাগ বল বা ঘর্ষণ সৃষ্টি হয়।

শাকিল মাহমুদ সজল

শাকিল মাহমুদ সজল

সফটওয়্যার প্রকৌশলী ও লেখক, ঢাকা, বাংলাদেশ। কম্পিউটার বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, ইতিহাস ও ভাবনার সমন্বয়ে ব্যক্তিগত নোট ও প্রবন্ধ সংকলন।