অশান্ত ঘূর্ণিময় জটিলতায় প্রবেশের পূর্বে ফ্লুইড ডায়নামিক্সের ভিত রচিত হয় ল্যামিনার বা শান্ত সান্দ্র প্রবাহের নিখুঁত গাণিতিক সমাধানের ওপর। জ্যামিতিক প্রতিসাম্যের কারণে যখন নন-লিনিয়ার ত্বরণ বাতিল হয়ে যায়, তখন নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণ চাপের নতি ও সান্দ্র বিকিরণের রৈখিক ভারসাম্যে রূপান্তরিত হয়।

১. হাইড্রোস্ট্যাটিক সাম্যাবস্থা ও ব্যারোমেট্রিক সূত্র

তরল যখন স্থির থাকে ((mathbf{u} = mathbf{0})), তখন সান্দ্র শিয়ার শূন্য হয়ে যায়। সমীকরণটি শুধুমাত্র অভিকর্ষ ও চাপের ভারসাম্যে পরিণত হয়:

[
rac{dp}{dz} = –
ho g
]

অসংকোচনীয় তরলে চাপ দূরত্বের সাথে রৈখিকভাবে বাড়ে ((p = p_0 –
ho g z))। কিন্তু সমোষ্ণ আদর্শ গ্যাসের ক্ষেত্রে ঘনত্ব চাপের সমানুপাতিক হওয়ায় চাপের বিন্যাস সূচকীয় রূপ নেয়, যাকে ব্যারোমেট্রিক সূত্র বলা হয়:

[
p(z) = p_0 xpleft( -rac{z}{H}
ight), quad H = rac{RT}{g}
]

এখানে (H) হলো স্কেল উচ্চতা, যা পৃথিবীর বায়ুমণ্ডলের জন্য প্রায় ৮.৫ কিলোমিটার।

২. কুয়েট প্রবাহ: বিশুদ্ধ শিয়ারিং মেকানিক্স

দুটি সমান্তরাল পাতের মধ্যবর্তী দূরত্ব (h)। নিচের পাতটি স্থির এবং ওপরের পাতটি (U) বেগে অনুভূমিকভাবে চলছে। কোনো বাহ্যিক চাপ না থাকলে সান্দ্র বল সমীকরণ দাঁড়ায়:

[
mu rac{d^2 u}{dy^2} = 0 implies u(y) = U rac{y}{h}
]

যেহেতু বেগ রৈখিকভাবে বৃদ্ধি পায়, তরলের প্রতিটি বিন্দুতে শিয়ার স্ট্রেস ( au = mu U / h) সম্পূর্ণ ধ্রুবক থাকে। এটি সান্দ্রতা পরিমাপের সবচেয়ে মৌলিক মডেল।

৩. হ্যাগেন-পয়সেলি পাইপ প্রবাহ

(R) ব্যাসার্ধের একটি গোলাকার পাইপের মধ্য দিয়ে যখন (Delta p) চাপের পার্থক্যে তরল প্রবাহিত হয়, তখন দেয়ালের ঘর্ষণের বিপরীতে প্রবাহের বেগ পরাবৃত্তাকার (Parabolic) রূপ ধারণ করে:

[
u(r) = rac{Delta p}{4mu L} (R^2 – r^2) = u_{max} left( 1 – rac{r^2}{R^2}
ight)
]

পাইপের কেন্দ্রস্থলে বেগ সর্বোচ্চ হয় এবং দেয়ালে নো-স্লিপ বাধার কারণে বেগ শূন্য হয়। গড় বেগ সর্বোচ্চ বেগের ঠিক অর্ধেক।

৪. পয়সেলি সূত্র ও হাইড্রোলিক রোধ

পাইপের মধ্য দিয়ে মোট প্রবাহের হার ((Q)) হিসাব করলে পাওয়া যায় বিখ্যাত হ্যাগেন-পয়সেলি সমীকরণ:

[
Q = rac{pi R^4 Delta p}{8mu L}
]

এখান থেকে হাইড্রোলিক রোধ দাঁড়ায়: (R_H = rac{8mu L}{pi R^4})। লক্ষ্যণীয় যে রোধ ব্যাসার্ধের চতুর্থ ঘাতের ব্যস্তানুপাতিক ((R^{-4}))। এ কারণেই মানবদেহের রক্তনালীর ব্যাস সামান্য সংকুচিত হলেই রক্তচাপ মারাত্মকভাবে বৃদ্ধি পায়।

শাকিল মাহমুদ সজল

শাকিল মাহমুদ সজল

সফটওয়্যার প্রকৌশলী ও লেখক, ঢাকা, বাংলাদেশ। কম্পিউটার বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, ইতিহাস ও ভাবনার সমন্বয়ে ব্যক্তিগত নোট ও প্রবন্ধ সংকলন।