বিজ্ঞানী লুইস ফ্রাই রিচার্ডসন টার্বুলেন্সের ছন্দময় রূপ বর্ণনা করেছিলেন এভাবে: “বিশাল ঘূর্ণিগুলো ছোট ঘূর্ণিকে বেগ দেয়, ছোট ঘূর্ণি আরও ক্ষুদ্র ঘূর্ণিকে শক্তি যোগায়—এভাবে চলতে চলতে সান্দ্রতায় গিয়ে তা নিঃশেষ হয়।” ১৯৪১ সালে সোভিয়েত গণিতবিদ আন্দ্রে কোলমোগোরভ এই প্রাকৃতিক অন্তর্দৃষ্টিকে এক নিখুঁত পরিসংখ্যানিক তত্ত্বে (K41) রূপ দেন এবং প্রমাণ করেন টার্বুলেন্সের বিখ্যাত সার্বজনীন ৫/৩ ঘাত সূত্র।

১. রিচার্ডসনের শক্তি ক্যাসকেড (The Energy Cascade)

উচ্চ রেনল্ডস নম্বরে যখন তরলে শক্তি ঢালা হয়, তখন বড় আকারের ঘূর্ণিগুলো তৈরি হয়। এই বিশাল ঘূর্ণিগুলো অস্থির হয়ে ভেঙে গিয়ে ছোট ছোট ঘূর্ণি তৈরি করে। যেহেতু এই মাঝারি অঞ্চলে সান্দ্রতা কোনো ভূমিকা রাখতে পারে না, তাই কোনো শক্তি ক্ষয় না হয়ে এক ধাপ থেকে পরবর্তী ক্ষুদ্র ধাপে শক্তি স্থানান্তরিত হতে থাকে। এই প্রক্রিয়াকে শক্তি ক্যাসকেড বলা হয়।

২. কোলমোগোরভের তিনটি মৌলিক প্রস্তাবনা (K41)

  1. স্থানীয় আইসোট্রপি: বড় আকারের অসমতা ও সীমানা প্রাচীরের প্রভাব ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র ঘূর্ণিতে এসে পুরোপুরি বিলুপ্ত হয়ে যায় এবং তা সার্বজনীন আইসোট্রপিক রূপ নেয়।
  2. প্রথম সমরূপতা ও কোলমোগোরভ স্কেল: ক্ষুদ্রতম ঘূর্ণিগুলো কেবল দুটি বিষয়ের ওপর নির্ভর করে—সান্দ্রতা ((
    u)) এবং শক্তি ক্ষয়ের হার ((arepsilon))। এর ফলে উদ্ভূত হয় ক্ষুদ্রতম কোলমোগোরভ মাইক্রোস্কেল ((ta)):
    [
    ta = left( rac{
    u^3}{arepsilon}
    ight)^{1/4}
    ]
    এই (ta) স্কেলে এসে রেনল্ডস নম্বর ১ এ নেমে আসে এবং সান্দ্রতা সরাসরি গতিশক্তিকে তাপে রূপান্তরিত করে দেয়।
  3. দ্বিতীয় সমরূপতা (জড়তা অঞ্চল): বড় স্কেল (L) এবং ক্ষুদ্র স্কেল (ta) এর মধ্যবর্তী অঞ্চলে সান্দ্রতার কোনো ভূমিকা নেই। ফলে এই অঞ্চলের শক্তি বণ্টন শুধুমাত্র (arepsilon) এর ওপর নির্ভরশীল।

৩. সার্বজনীন ৫/৩ এনার্জি স্পেকট্রাম ব্যুৎপত্তি

ডাইমেনশনাল অ্যানালিসিস প্রয়োগ করে কোলমোগোরভ প্রমাণ করেন যে তরঙ্গ সংখ্যা (k) এর সাপেক্ষে শক্তি স্পেকট্রাম (E(k)) নিম্নোক্ত সূত্র মেনে চলে:

[
E(k) = C_K , arepsilon^{2/3} k^{-5/3}
]

এখানে (C_K approx 1.5) হলো কোলমোগোরভ ধ্রুবক। বায়ুমণ্ডলের ঝড় থেকে শুরু করে মহাসাগরের গভীর স্রোত এবং মহাকাশের গ্যাস মেঘ পর্যন্ত সর্বত্র এই (k^{-5/3}) সূত্র পরীক্ষামূলকভাবে প্রমাণিত হয়েছে।

৪. স্বাধীনতার মাত্রা ও কম্পিউটেশনাল জটিলতা

একটি পূর্ণাঙ্গ টার্বুলেন্ট প্রবাহের প্রতিটি ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র ঘূর্ণি কম্পিউটারে সিমুলেট করতে (DNS) মোট গ্রিড পয়েন্ট প্রয়োজন হয়:

[
N_{ ext{DOF}} sim left( rac{L}{ta}
ight)^3 sim mathrm{Re}^{9/4}
]

একটি যাত্রীবাহী বোয়িং বিমানের জন্য (mathrm{Re} approx 10^8), যার জন্য প্রয়োজন (10^{18}) টিরও বেশি গ্রিড পয়েন্ট। বর্তমান বিশ্বের সবচেয়ে শক্তিশালী সুপারকম্পিউটারের পক্ষেও এটি সরাসরি সমাধান করা অসম্ভব, যার কারণে টার্বুলেন্স মডেলিং আধুনিক প্রকৌশলের অপরিহার্য অঙ্গ।

শাকিল মাহমুদ সজল

শাকিল মাহমুদ সজল

সফটওয়্যার প্রকৌশলী ও লেখক, ঢাকা, বাংলাদেশ। কম্পিউটার বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, ইতিহাস ও ভাবনার সমন্বয়ে ব্যক্তিগত নোট ও প্রবন্ধ সংকলন।