বিজ্ঞানী হোরাস ল্যাম্বের ভাষায়, ভর্টিসিটি (Vorticity) হলো তরলের গতির অভ্যন্তরীণ প্রাণ ও চালিকাশক্তি। ভর্টিসিটি তরলের ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র কণার স্থানীয় কৌণিক ঘূর্ণন পরিমাপ করে। বিমানের ডানার প্রান্তীয় ঘূর্ণি থেকে শুরু করে বায়ুমণ্ডলের প্রলয়ঙ্করী সাইক্লোন এবং অশান্ত টার্বুলেন্সের মূল রহস্য লুকিয়ে রয়েছে এই ভর্টিসিটির প্রসারণ ও সঞ্চালনে।
১. ভর্টিসিটির রূপরেখা
ইউলেরিয়ান বেগ ক্ষেত্রের কার্ল (Curl) হিসেবে ভর্টিসিটি ভেক্টর ((boldsymbol{omega})) সংজ্ঞায়িত:
[
boldsymbol{omega} quiv
abla imes mathbf{u}
]
ভেক্টর ক্যালকুলাসের নিয়ম অনুযায়ী ভর্টিসিটির ডাইভারজেন্স সর্বদা শূন্য: (
abla cdot boldsymbol{omega} = 0)। এর অর্থ হলো কোনো ঘূর্ণি রেখা হুট করে তরলের ভেতরে শেষ হতে পারে না; এটি হয় একটি বদ্ধ বলয় (যেমন স্মোক রিং) তৈরি করে, নয়তো সীমানা প্রাচীরে গিয়ে শেষ হয়। ভর্টিসিটি তরল কণার কৌণিক বেগের ঠিক দ্বিগুণ: (boldsymbol{omega} = 2boldsymbol{Omega}_f)।
২. ভর্টিসিটি পরিবহন সমীকরণ
নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণের কার্ল নিলে চাপের পদটি অপসারিত হয় এবং পাওয়া যায় ভর্টিসিটি পরিবহন সমীকরণ:
[
rac{Dboldsymbol{omega}}{Dt} = (boldsymbol{omega} cdot
abla)mathbf{u} +
u
abla^2 boldsymbol{omega} + rac{1}{
ho^2}(
abla
ho imes
abla p)
]
ভার্টেক্স স্ট্রেচিং (Vortex Stretching)
সমীকরণের প্রথম পদ ((boldsymbol{omega} cdot
abla)mathbf{u}) হলো ঘূর্ণির প্রসারণ ও হেলানো (Stretching & Tilting)। যখন কোনো ঘূর্ণি রেখা তার অক্ষ বরাবর প্রসারিত হয়, কৌণিক ভরবেগের নিত্যতার কারণে তার ব্যাস সংকুচিত হয় এবং ঘূর্ণন বেগ বহুগুণ বেড়ে যায়। দ্বিমাত্রিক প্রবাহে এই পদটি শূন্য থাকে, কিন্তু ত্রিমাত্রিক প্রবাহে এটিই টার্বুলেন্সে শক্তির দ্রুত ক্ষয় এবং ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র ঘূর্ণি সৃষ্টির প্রধান ইঞ্জিন।
ব্যারোক্লিনিক টর্ক (Baroclinic Torque)
যখন ঘনত্ব গ্রেডিয়েন্ট ও চাপ গ্রেডিয়েন্ট একই সমান্তরালে থাকে না ((
abla
ho imes
abla p
e 0)), তখন তরলে স্বতঃস্ফূর্তভাবে নতুন ঘূর্ণির সৃষ্টি হয়। এই ব্যারোক্লিনিক প্রতিক্রিয়ার কারণেই পৃথিবীতে সমুদ্রের বায়ুপ্রবাহ ও আবহাওয়া ফ্রন্ট গঠিত হয়।
৩. কেলভিনের সার্কুলেশন উপপাদ্য ও হেলমহোল্টজ সূত্র
একটি বদ্ধ রেখা বরাবর বেগের লাইন ইন্টিগ্রালকে সার্কুলেশন ((Gamma)) বলা হয়: (Gamma = oint mathbf{u} cdot dmathbf{l})। সান্দ্রতাহীন এবং ব্যারোট্রপিক তরলে লর্ড কেলভিনের উপপাদ্য বলে:
[
rac{DGamma}{Dt} = 0
]
অর্থাৎ তরল কণার সাথে চলমান যেকোনো লুপে সার্কুলেশন চিরকাল অপরিবর্তিত থাকে। এর ওপর ভিত্তি করেই হেলমহোল্টজ প্রমাণ করেন যে ঘূর্ণি রেখা তরলের সাথে হিমায়িত অবস্থায় একসাথে পরিভ্রমণ করে।
৪. বায়ো-সাভার্ট সূত্র ও বেগ প্ররোচনা
ইলেকট্রোম্যাগনেটিজমের মতো তরল গতিবিদ্যায়ও সমগ্র স্থানের ভর্টিসিটির বণ্টন থেকে যেকোনো বিন্দুতে বেগ ((mathbf{u})) সরাসরি হিসাব করা যায়:
[
mathbf{u}(mathbf{x}) = -rac{1}{4pi} iiint rac{(mathbf{x} – mathbf{x}’) imes boldsymbol{omega}(mathbf{x}’)}{|mathbf{x} – mathbf{x}’|^3} , dV’
]
একটি সরল ঘূর্ণি রেখার চারপাশের বেগ ব্যাসার্ধের ব্যস্তানুপাতিক হারে কমতে থাকে: (u_ heta = rac{Gamma}{2pi r})।
