ম্যাক্রোস্কোপিক ফ্লুইড মেকানিক্স বা তরল বলবিদ্যার মূল ভিত্তি হলো ‘কন্টিনিউয়াম হাইপোথিসিস’। এর অর্থ হলো বিচ্ছিন্ন আণবিক সমষ্টিকে একটি অবিচ্ছিন্ন মাধ্যম হিসেবে বিবেচনা করা, যার প্রতিটি বিন্দুতে ঘনত্ব, বেগ ও চাপের মসৃণ বিস্তার বিদ্যমান। এই ভিত্তি থেকেই উদ্ভূত হয়েছে বিখ্যাত নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণমালা—যা মহাবিশ্বের যেকোনো তরল ও গ্যাসের গতিবিধি নিয়ন্ত্রণকারী মৌলিক সমীকরণ।
১. কন্টিনিউয়াম ধারণা ও রেনল্ডস ট্রান্সপোর্ট উপপাদ্য
যখন নাডসেন সংখ্যা (( ext{Kn} = lambda / L ll 10^{-2})) অত্যন্ত ক্ষুদ্র হয়, তখন কোনো মাধ্যমে কন্টিনিউয়াম ধারণা প্রয়োগ করা যায়। একটি চলমান ও আকৃতি পরিবর্তনশীল নিয়ন্ত্রণ আয়তনের ((Omega(t))) ভেতরে যেকোনো ধর্মের পরিবর্তনের হার নির্ণয় করতে রেনল্ডস ট্রান্সপোর্ট থিওরেম ব্যবহার করা হয়:
[
rac{d}{dt} int_{Omega(t)}
ho psi , dV = int_{Omega(t)} left[ rac{partial(
ho psi)}{partial t} +
abla cdot (
ho psi mathbf{u})
ight] dV
]
ভরের নিত্যতা সূত্র ((psi = 1)) প্রয়োগ করলে তরলের অবিচ্ছিন্নতা সমীকরণ (Continuity Equation) পাওয়া যায়:
[
rac{partial
ho}{partial t} +
abla cdot (
ho mathbf{u}) = 0
]
অসংকোচনীয় (Incompressible) তরলের ক্ষেত্রে ঘনত্ব ধ্রুবক হওয়ায় বেগের ডাইভারজেন্স শূন্য হয়: (
abla cdot mathbf{u} = 0)।
২. কশি স্ট্রেস টেনসর ও ভরবেগ সমীকরণ
নিউটনের গতির দ্বিতীয় সূত্র কন্টিনিউয়াম মাধ্যমের ওপর প্রয়োগ করলে দেখা যায় যে ভরবেগের পরিবর্তনের হার পৃষ্ঠীয় বল এবং মহাকর্ষীয় বলের সমান। পৃষ্ঠের ওপর ক্রিয়াশীল টানকে কশি স্ট্রেস টেনসর ((boldsymbol{sigma})) দ্বারা প্রকাশ করা হয়:
[
ho rac{Dmathbf{u}}{Dt} =
abla cdot boldsymbol{sigma} + mathbf{f}
]
এখানে (D/Dt = partial/partial t + (mathbf{u} cdot
abla)) হলো সাবস্ট্যানশিয়াল বা উপাদানগত অন্তরক। স্ট্রেস টেনসরটি থার্মোডায়নামিক চাপ (p) এবং সান্দ্র পীড়ন (boldsymbol{ au}) এর সমন্বয়ে গঠিত: (sigma_{ij} = -p delta_{ij} + au_{ij})।
৩. নিউটনীয় তরলের রূপতাত্ত্বিক সমীকরণ
নিউটনীয় তরলের ক্ষেত্রে সান্দ্র পীড়ন তরলের বিকৃতির হারের (Rate of Strain) সমানুপাতিক। বেগের গ্রেডিয়েন্ট টেনসর দুটি অংশে বিভক্ত হয়: প্রতিসম স্ট্রেন টেনসর ((S_{ij})) এবং অপ্রতিসম ঘূর্ণন টেনসর ((Omega_{ij})):
[
S_{ij} = rac{1}{2}left( rac{partial u_i}{partial x_j} + rac{partial u_j}{partial x_i}
ight)
]
স্টোকসের হাইপোথিসিস মেনে চললে সান্দ্র পীড়ন দাঁড়ায়: ( au_{ij} = 2mu S_{ij})।
৪. অসংকোচনীয় নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণ
কশি ভরবেগ সমীকরণে নিউটনীয় সান্দ্র পীড়ন প্রতিস্থাপন করলে পাওয়া যায় বিশ্ববিখ্যাত নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণ:
[
ho left( rac{partial mathbf{u}}{partial t} + (mathbf{u} cdot
abla)mathbf{u}
ight) = –
abla p + mu
abla^2 mathbf{u} +
ho mathbf{g}
]
কাইনেম্যাটিক সান্দ্রতা (
u = mu /
ho) দ্বারা প্রকাশ করলে সমীকরণটি হয়:
[
rac{partial mathbf{u}}{partial t} + (mathbf{u} cdot
abla)mathbf{u} = -rac{1}{
ho}
abla p +
u
abla^2 mathbf{u} + mathbf{g}
]
এই সমীকরণের সবচেয়ে জটিল অংশ হলো নন-লিনিয়ার কনভেক্টিভ ত্বরণ পদ ((mathbf{u} cdot
abla)mathbf{u})। এটিই তরলের প্রবাহে ঘূর্ণি সৃষ্টি, ক্যাওটিক অস্থিরতা এবং অশান্ত প্রবাহের (Turbulence) জন্ম দেয়—যার ত্রিমাত্রিক মসৃণ সমাধানের অস্তিত্ব আজও গণিতের অন্যতম প্রধান অমীমাংসিত সহস্রাব্দ সমস্যা (Millennium Prize Problem)।
