১৯০৪ সালে জার্মান গণিতবিদ লুডভিগ প্র্যান্ডল মাত্র ৮ পৃষ্ঠার একটি ঐতিহাসিক গবেষণাপত্র উপস্থাপন করেন, যা তাত্ত্বিক হাইড্রোডায়নামিক্স এবং ব্যবহারিক প্রকৌশলের মধ্যে শতবর্ষের দ্বন্দ্বের অবসান ঘটায়। প্র্যান্ডল দেখান যে উচ্চ রেনল্ডস নম্বরে সান্দ্র ঘর্ষণ পুরো তরলে নয়, বরং কঠিন সীমানা প্রাচীর সংলগ্ন একটি অতি সূক্ষ্ম স্তরের ভেতর সীমাবদ্ধ থাকে—যার নাম ‘বাউন্ডারি লেয়ার’ (Boundary Layer)।

১. বাউন্ডারি লেয়ার অনুমান ও স্কেলিং

উচ্চ রেনল্ডস নম্বরে সীমানা থেকে দূরে তরলকে সান্দ্রতাহীন মনে করা গেলেও প্রাচীরের নো-স্লিপ বাধার কারণে তরলের বেগ শূন্য থেকে মুক্ত বেগ (U_infty) তে পৌঁছাতে একটি সরু স্তর (delta(x)) তৈরি হয়। সান্দ্র বল ও জড়তা বলের ভারসাম্য থেকে প্রমাণিত হয়:

[
rac{delta}{L} sim rac{1}{sqrt{mathrm{Re}_L}} implies delta(x) propto sqrt{rac{
u x}{U_infty}}
]

এই স্তরের ভেতরে উলম্ব চাপ পরিবর্তনহীন থাকে ((partial p / partial y approx 0)), অর্থাৎ বাইরের প্রবাহের চাপই সরাসরি বাউন্ডারি লেয়ারের ওপর আরোপিত হয়।

২. প্র্যান্ডল বাউন্ডারি লেয়ার সমীকরণ

দ্বিমাত্রিক স্তরের জন্য নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণ সরলীকৃত হয়ে প্র্যান্ডল সমীকরণে রূপ নেয়:

[
begin{aligned}
rac{partial u}{partial x} + rac{partial v}{partial y} &= 0
u rac{partial u}{partial x} + v rac{partial u}{partial y} &= U_e rac{dU_e}{dx} +
u rac{partial^2 u}{partial y^2}
nd{aligned}
]

৩. ব্লাসিউসের নিখুঁত সমাধান (Blasius Solution)

সমতল পাতের ওপর শূন্য চাপ নতিতে ((dp/dx = 0)) হেনরিক ব্লাসিউস একটি মাত্রাহীন সমরূপ চলক (ta = y sqrt{rac{U_infty}{
u x}}) আবিষ্কার করেন। এর মাধ্যমে আংশিক অন্তরক সমীকরণটি একটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে পরিণত হয়, যা ব্লাসিউস সমীকরণ নামে খ্যাত:

[
2 f”'(ta) + f(ta) f”(ta) = 0
]

শর্ত: (f(0)=0, f'(0)=0, f'(infty)=1)।

ব্লাসিউস সমাধান থেকে প্রাপ্ত ফলাফল:

  • বাউন্ডারি লেয়ারের পুরুত্ব: (delta(x) approx rac{4.91 x}{sqrt{mathrm{Re}_x}})
  • ডিসপ্লেসমেন্ট থিকনেস ((delta^*)): (delta^* approx rac{1.72 x}{sqrt{mathrm{Re}_x}})
  • স্কিন ফ্রিকশন কোফিসিয়েন্ট ((c_f)): (c_f = rac{0.664}{sqrt{mathrm{Re}_x}})

৪. ফকনার-স্ক্যান ওয়েজ প্রবাহ

বাইরের বেগ যখন দূরত্বের ঘাত আকারে বাড়ে ((U_e = C x^m)), তখন প্রবাহ ফকনার-স্ক্যান সমীকরণ মেনে চলে:

[
f”’ + f f” + beta (1 – (f’)^2) = 0
]

এখানে (beta > 0) হলে অনুকূল চাপ প্রবাহকে ত্বরান্বিত করে স্তরকে পাতলা রাখে। কিন্তু (beta < 0) হলে প্রতিকূল চাপ বাউন্ডারি লেয়ারকে মন্থর করতে থাকে এবং (beta = -0.1988) মানে পৌঁছালে দেয়ালে শিয়ার স্ট্রেস শূন্য হয়ে প্রবাহ বিচ্ছিন্ন (Separation) হয়ে যায়।

শাকিল মাহমুদ সজল

শাকিল মাহমুদ সজল

সফটওয়্যার প্রকৌশলী ও লেখক, ঢাকা, বাংলাদেশ। কম্পিউটার বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, ইতিহাস ও ভাবনার সমন্বয়ে ব্যক্তিগত নোট ও প্রবন্ধ সংকলন।