কণার গতি যখন আলোর গতির কাছাকাছি পৌঁছায়, তখন চিরায়ত কোয়ান্টাম মেকানিক্স কেন অকার্যকর হয়ে পড়ে? সাধারণ কোয়ান্টাম মেকানিক্সে কণার সংখ্যা সর্বদা অপরিবর্তনীয় ধরা হয়, এবং সময় হলো একটি বাহ্যিক প্যারামিটার যেখানে স্থানিক স্থানাঙ্কগুলো অপারেটরে রূপান্তরিত হয়। কিন্তু আইনস্টাইনের বিশেষ আপেক্ষিকতা প্রমাণ করে যে ভর এবং শক্তি পরস্পরের রূপান্তরযোগ্য ($E = mc^2$); গতিশক্তি যখন $2mc^2$-এর চেয়ে বেশি হয়, তখন শূন্যস্থান থেকেই স্বতঃস্ফূর্তভাবে নতুন কণার জন্ম হয় এবং পুরনো কণা বিলীন হয়ে যায়। আপেক্ষিকতা ও কার্যকারণ নীতিকে কোয়ান্টাম বলবিদ্যার সাথে সমন্বয় করতে পদার্থবিজ্ঞান স্থান ও কালকে অভিন্ন মাত্রায় ($x^mu$) উন্নীত করে এবং কণাকে মৌলিক সত্তা না ভেবে স্থানজুড়ে বিস্তৃত অবিচ্ছিন্ন ক্ষেত্রের স্থানীয় কম্পন বা উত্তেজনা হিসেবে ব্যাখ্যা করে: যার নাম কোয়ান্টাম ফিল্ড (Quantum Field)।
১. ক্লেইন-গর্ডন ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান ও ফিল্ড সমীকরণ
সবচেয়ে সরল আপেক্ষিক ক্ষেত্র হলো একটি রিয়েল স্কেলার ফিল্ড $phi(x) = phi(mathbf{x}, t)$, যা লরেন্জ রূপান্তরের অধীনে স্কেলার হিসেবে অপরিবর্তিত থাকে। এর ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান ঘনত্ব হলো:
[
mathcal{L} = frac{1}{2} (partial_mu phi)(partial^mu phi) – frac{1}{2} m^2 phi^2
]
এখানে আমরা প্রাকৃতিক একক ($hbar = c = 1$) এবং মিনকভস্কি মেট্রিক সিগনেচার $eta_{munu} = operatorname{diag}(+1, -1, -1, -1)$ ব্যবহার করি। ন্যূনতম অ্যাকশনের নীতি ($delta S = 0$) থেকে অয়লার-ল্যাগ্রাঞ্জ সমীকরণ প্রয়োগ করলে পাওয়া যায়:
[
(partial_mu partial^mu + m^2)phi(x) = 0 implies (Box + m^2)phi(x) = 0
]
এটিই হলো বিখ্যাত ক্লেইন-গর্ডন সমীকরণ, যেখানে $Box equiv frac{partial^2}{partial t^2} – nabla^2$ হলো ডি-আলেমবার্ট অপারেটর।
২. ক্যানোনিকাল কোয়ান্টাইজেশন: ফিল্ডকে অপারেটরে রূপান্তর
ফিল্ডটিকে কোয়ান্টাইজ করার জন্য অনুবন্ধী ভরবেগ ঘনত্ব $pi(mathbf{x}, t)$ নির্ণয় করা হয়:
[
pi(mathbf{x}, t) = frac{partial mathcal{L}}{partial dot{phi}} = dot{phi}(mathbf{x}, t)
]
লেজঁদ্রে রূপান্তরের মাধ্যমে হ্যামিল্টোনিয়ান পাওয়া যায়:
[
H = int d^3x left( frac{1}{2} pi^2 + frac{1}{2} (nabla phi)^2 + frac{1}{2} m^2 phi^2 right)
]
পল ডিরাকের ক্যানোনিকাল রূপান্তর নীতি অনুসারে ক্লাসিক্যাল পয়সাঁ ব্র্যাকেটকে সমকালীন কমিউটেটর দ্বারা প্রতিস্থাপন করা হয়:
[
[phi(mathbf{x}, t), pi(mathbf{y}, t)] = i , delta^{(3)}(mathbf{x} – mathbf{y}), quad [phi(mathbf{x}, t), phi(mathbf{y}, t)] = [pi(mathbf{x}, t), pi(mathbf{y}, t)] = 0
]
৩. মোড বিস্তার ও ল্যাডার অপারেটর বীজগণিত
ক্লেইন-গর্ডন সমীকরণ রৈখিক হওয়ায় ফিল্ড অপারেটরকে সমতল তরঙ্গের ফুরিয়ার ইন্টিগ্রালে বিস্তার করা যায়:
[
phi(mathbf{x}, t) = int frac{d^3p}{(2pi)^3 sqrt{2 E_mathbf{p}}} left( a_mathbf{p} e^{-i p cdot x} + a_mathbf{p}^dagger e^{i p cdot x} right)
]
যেখানে $E_mathbf{p} = sqrt{mathbf{p}^2 + m^2}$। সমকালীন কমিউটেটরের শর্তের কারণে ক্রিয়েশন ($a_mathbf{p}^dagger$) এবং অ্যানাইহিলেশন ($a_mathbf{p}$) অপারেটরগুলো বোসোনিক ল্যাডার বীজগণিত মেনে চলে:
[
[a_mathbf{p}, a_mathbf{q}^dagger] = (2pi)^3 delta^{(3)}(mathbf{p} – mathbf{q})
]
হ্যামিল্টোনিয়ানে মান বসালে দেখা যায় যে কোয়ান্টাম ফিল্ড হলো স্থানজুড়ে বিস্তৃত অসীম সংখ্যক হারমোনিক অসিলেটরের সমষ্টি। শূন্যস্থান অবস্থা বা ভ্যাকুয়াম $|0rangle$-কে সংজ্ঞায়িত করা হয় $a_mathbf{p} |0rangle = 0$ শর্ত দ্বারা।
৪. ফক স্পেস ও মাইক্রোকজালিটি
ভ্যাকুয়ামের ওপর ক্রিয়েশন অপারেটর প্রয়োগ করে একাধিক কণার হিলবার্ট স্পেস বা ফক স্পেস (Fock Space) তৈরি করা হয়। যেহেতু $[a_mathbf{p}^dagger, a_mathbf{q}^dagger] = 0$, তাই স্টেটগুলো কণা বিনিময়ে প্রতিসম থাকে, যা প্রমাণ করে যে স্পিন-০ স্কেলার কণা কঠোরভাবে বোস-আইনস্টাইন পরিসংখ্যান মেনে চলে।
তদুপরি, বিশেষ আপেক্ষিকতার কার্যকারণ নীতি নিশ্চিত করতে স্থানসদৃশ (spacelike) দূরত্বে ($(x – y)^2 < 0$) দুটি ফিল্ড মেজারমেন্টের কমিউটেটর শূন্য হতে হয়:
[
[phi(x), phi(y)] = 0 quad text{for } (x – y)^2 < 0
]
একে বলা হয় মাইক্রোকজালিটি (Microcausality)—যা নিশ্চিত করে যে শূন্যস্থানে আলোর গতির চেয়ে দ্রুত কোনো সংকেত পাঠানো অসম্ভব এবং কোয়ান্টাম ফিল্ড থিওরি কার্যকারণ সম্পর্কের পরম সীমাকে শতভাগ রক্ষা করে।
