চিরায়ত ফিল্ড থিওরিতে নোয়েদারের উপপাদ্য অনুসারে অ্যাকশনের প্রতিটি অবিচ্ছিন্ন প্রতিসাম্যের বিপরীতে একটি সংরক্ষিত কারেন্ট থাকে ($partial_mu j^mu = 0$)। কিন্তু কোয়ান্টাম স্তরে এই নীতিটি সম্পূর্ণ ভেঙে পড়তে পারে। যখন কোনো চিরায়ত প্রতিসাম্য কোয়ান্টাম লুপ কারেকশনের কারণে ধ্বংস হয়ে যায়, তখন তাকে বলা হয় কোয়ান্টাম অ্যানোমালি (Quantum Anomaly)। গ্লোবাল অ্যানোমালি প্রকৃতির গভীর ঘটনা যেমন নিরপেক্ষ পায়নের ক্ষয় ($pi^0 to gammagamma$) নিখুঁতভাবে ব্যাখ্যা করে; তবে গেজ প্রতিসাম্যে অ্যানোমালি থাকলে পুরো তত্ত্বটি গাণিতিকভাবে ধ্বংস হয়ে যায়। স্ট্যান্ডার্ড মডেলে কোয়ার্ক এবং লেপ্টনের চার্জগুলো কেন পরস্পরের সাথে নিখুঁতভাবে সম্পর্কিত, তা নির্ধারণ করে এই গেজ অ্যানোমালি মুক্ততা।
১. কাইরাল এবিজে (ABJ) ট্রায়াঙ্গেল অ্যানোমালি
ভরহীন ডিরাক কণার ক্ষেত্রে ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানে দুটি স্বাধীন প্রতিসাম্য থাকে: ভেক্টর $U(1)_V$ এবং কাইরাল বা অ্যাক্সিয়াল-ভেক্টর $U(1)_A$। কিন্তু ১৯৬৯ সালে অ্যাডলার, বেল এবং জ্যাকিভ এক-লুপ ট্রায়াঙ্গেল ডায়াগ্রাম গণনা করতে গিয়ে আবিষ্কার করেন যে কোনো রেগুলারাইজেশন পদ্ধতিতেই দুটি কারেন্ট একসাথে রক্ষা করা অসম্ভব।
বৈদ্যুতিক চার্জ সংরক্ষণের জন্য ভেক্টর কারেন্ট রক্ষা করলে অ্যাক্সিয়াল কারেন্ট বাধ্যতামূলকভাবে লঙ্ঘিত হয়:
[
partial_mu j^{5mu} = frac{e^2}{2pi^2} mathbf{E} cdot mathbf{B}
]
এর অর্থ হলো, সমান্তরাল বৈদ্যুতিক ও চৌম্বক ক্ষেত্র প্রয়োগ করলে শূন্যস্থান থেকেই সরাসরি কাইরাল কণা তৈরি হতে পারে!
২. ফুজিকাওয়ার পাথ ইন্টিগ্রাল মেজার
১৯৭৯ সালে কাজুও ফুজিকাওয়া প্রমাণ করেন যে অ্যানোমালি কোনো অদ্ভুত দুর্ঘটনা নয়; এটি কোয়ান্টাম অসীম-মাত্রিক স্থানের জ্যামিতিক ফল। অ্যাকশন $S$ কাইরাল রূপান্তরে অপরিবর্তিত থাকলেও, পাথ ইন্টিগ্রালের অসীম-মাত্রিক মেজার $mathcal{D}psi mathcal{D}bar{psi}$ একটি জ্যাকবিয়ান ফ্যাক্টরের কারণে পরিবর্তিত হয়ে যায়। এই জ্যাকবিয়ানই অ্যানোমালির জন্ম দেয়।
৩. পায়ন ($pi^0 to gammagamma$) ক্ষয় ও কালারের প্রমাণ
চিরায়ত কারেন্ট অ্যালজেব্রা অনুযায়ী নিরপেক্ষ পায়নের দুটি ফোটনে ক্ষয় হওয়া প্রায় অসম্ভব ছিল। কিন্তু কাইরাল অ্যানোমালি সরাসরি পায়নকে দুটি ফোটনের সাথে সংযুক্ত করে:
[
Gamma(pi^0 to gammagamma) propto left( frac{N_c}{3} right)^2
]
পরীক্ষাগারে পরিমাপকৃত ক্ষয়কালের সাথে এই সূত্রটি ১০০% মিলে যায় ঠিক তখনই, যখন কোয়ার্কের কালার সংখ্যা $N_c = 3$ ধরা হয়। এটি কোয়ার্কের কালার ধারণার অন্যতম শক্তিশালী বাস্তব প্রমাণ।
৪. গেজ অ্যানোমালি বাতিলের মহাবিস্ময়
একটি কার্যকর কোয়ান্টাম গেজ তত্ত্বে গেজ অ্যানোমালি শূন্য হতে হয়। স্ট্যান্ডার্ড মডেলের প্রতি প্রজন্মে সমস্ত ফার্মিয়নের চার্জের যোগফল হিসাব করলে দেখা যায়:
[
sum Q_f = Q_e + Q_nu + N_c (Q_u + Q_d) = -1 + 0 + 3left(frac{2}{3} – frac{1}{3}right) = -1 + 1 = 0
]
প্রকৃতির অবিশ্বাস্য সমন্বয়: লেপ্টনের অ্যানোমালি কেবল তখনই কোয়ার্কের অ্যানোমালি দ্বারা বাতিল হয়, যদি কোয়ার্কের ঠিক ৩টি কালার থাকে এবং আপ ও ডাউন কোয়ার্কের ভগ্নাংশ চার্জ ($pm 1/3, pm 2/3$) ইলেকট্রনের একক চার্জের সাথে নিখুঁতভাবে মেলে! কোয়ার্ক ও লেপটন আলাদা কোনো বিচ্ছিন্ন কণা নয়; কোয়ান্টাম অ্যানোমালি বাতিলের মাধ্যমে তারা একটি পরম গাণিতিক ঐক্যে আবদ্ধ।
