অতিপারমাণবিক স্কেলে আলো কীভাবে পদার্থের সাথে মিথস্ক্রিয়া করে? জেমস ক্লার্ক ম্যাক্সওয়েলের চিরায়ত ইলেক্ট্রোডায়নামিক্সে আলোকে অবিচ্ছিন্ন তড়িচ্চৌম্বকীয় তরঙ্গ হিসেবে দেখা হতো। কিন্তু ভেক্টর পটেনশিয়াল $A_mu(x)$-কে কোয়ান্টাইজ করতে গিয়ে পদার্থবিজ্ঞানীরা এক গভীর গাণিতিক সংকটে পড়েন: ফোটন হলো ভরহীন স্পিন-১ কণা যার কেবল দুটি অনুপ্রস্থ পোলারাইজেশন থাকে, অথচ ৪-ভেক্টর $A_mu$-তে চারটি গাণিতিক উপাদান উপস্থিত। এই বাড়তি উপাদান বা রিডান্ড্যান্সি দূর করার উপায় হলো স্থানীয় গেজ প্রতিসাম্য (Local Gauge Invariance), যা জন্ম দেয় বিজ্ঞানের ইতিহাসের সবচেয়ে নিখুঁতভাবে পরীক্ষিত তত্ত্ব: কোয়ান্টাম ইলেকট্রোডায়নামিক্স (QED)।
১. ম্যাক্সওয়েল ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান ও গেজ রিডান্ড্যান্সি
চিরায়ত তড়িচ্চৌম্বকীয় ফিল্ডকে ফ্যারাডে টেনসর $F_{munu} = partial_mu A_nu – partial_nu A_mu$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। এর ফ্রি অ্যাকশন হলো:
[
S[A] = int d^4x left( -frac{1}{4} F_{munu} F^{munu} right)
]
এই অ্যাকশনটি স্থানীয় অ্যাবেলিয়ান $U(1)$ গেজ রূপান্তরের অধীনে সম্পূর্ণ অপরিবর্তিত থাকে:
[
A_mu(x) to A_mu(x) – frac{1}{e} partial_mu alpha(x)
]
যেহেতু টেনসরে $A_0$-এর কোনো সময় সাপেক্ষ ব্যবকলন ($dot{A}_0$) থাকে না, তাই $A_0$-এর অনুবন্ধী ভরবেগ শূন্য হয়ে যায়: $pi^0 equiv 0$। এর অর্থ হলো $A_0$ কোনো স্বাধীন কণা নয়, বরং এটি গাউসের সূত্রের একটি সীমাবদ্ধতা। ফলে গেজ ফিক্সিং ছাড়া সরাসরি ক্যানোনিকাল কোয়ান্টাইজেশন অসম্ভব।
২. গুপ্ত-ব্লয়লার পদ্ধতি ও ফোটনের দুটি পোলারাইজেশন
লরেন্জ কোভ্যারিয়েন্স অক্ষুণ্ণ রাখতে ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানে একটি গেজ-ফিক্সিং টার্ম যোগ করা হয় ($Box A_mu = 0$)। কিন্তু এতে করে ৪টি উপাদানের জন্য ঋণাত্মক সম্ভাব্যতা বা নরমের ভূতুড়ে অবস্থা (Ghosts) তৈরি হয়।
গুপ্ত এবং ব্লয়লার এই সমস্যার সমাধান করেন ভৌত অবস্থার ওপর দুর্বল লরেন্জ শর্ত আরোপ করে:
[
partial^mu A_mu^{(+)}(x) |text{phys}rangle = 0
]
এই শর্তের ফলে স্কেলার এবং অনুদৈর্ঘ্য ফোটনগুলোর প্রভাব যেকোনো বাস্তব পর্যবেক্ষণে পরস্পরের সাথে কাটাকাটি হয়ে বিলীন হয়ে যায়, এবং কেবল দুটি বাস্তব অনুপ্রস্থ (Transverse) পোলারাইজেশন অবশিষ্ট থাকে—যা প্রমাণ করে যে শূন্যস্থানে ফোটনের কেবল দুটি বাস্তব দশা বিদ্যমান।
৩. মিনিমাল কাপলিং ও QED ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান
ডিরাক ইলেকট্রন ফিল্ডের সাথে ফোটনের মিথস্ক্রিয়া তৈরি করতে সাধারণ ব্যবকলনের বদলে গেজ কোভ্যারিয়েন্ট ডেরিভেটিভ $D_mu$ ব্যবহার করা হয়:
[
D_mu equiv partial_mu + i e A_mu
]
এর ফলে পূর্ণাঙ্গ QED ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান পাওয়া যায়:
[
mathcal{L}_{text{QED}} = bar{psi}(i gamma^mu D_mu – m)psi – frac{1}{4} F_{munu} F^{munu} = bar{psi}(islpartial – m)psi – frac{1}{4} F_{munu} F^{munu} – e bar{psi}gamma^mupsi A_mu
]
এখানে মিথস্ক্রিয়া পদ $-e (bar{psi} gamma^mu psi) A_mu$ নির্দেশ করে যে একটি ফোটন শীর্ষবিন্দুতে (Vertex) দুটি ইলেকট্রনের সাথে মিলিত হয়, যার মিথস্ক্রিয়া শক্তি সূক্ষ্ম-গঠন ধ্রুবক $alpha approx 1/137$ দ্বারা নির্ধারিত।
৪. ওয়ার্ড-তাকাহাশি আইডেন্টিটি
কোয়ান্টাম স্তরে গেজ প্রতিসাম্যের সংরক্ষণশীলতার প্রকাশ হলো ওয়ার্ড-তাকাহাশি সমীকরণ:
[
k_mu mathcal{M}^mu(k) = 0
]
যেখানে $k_mu$ হলো ফোটনের ৪-ভরবেগ। এই গাণিতিক শর্ত নিশ্চিত করে যে অবাস্তব পোলারাইজেশনের ফোটনগুলো কখনোই কোনো বিক্ষেপণ ঘটাতে পারে না এবং কোয়ান্টাম স্তরে বৈদ্যুতিক চার্জের পরম সংরক্ষণশীলতা অটুট থাকে।
