ক্যানোনিকাল কোয়ান্টাইজেশনে কণা সৃষ্টি ও ধ্বংসের চমৎকার বীজগণিত পাওয়া গেলেও, সমকালীন স্লাইসিংয়ের কারণে আপেক্ষিক লরেন্জ কোভ্যারিয়েন্স কিছুটা আড়ালে চলে যায়। ১৯৪৮ সালে রিচার্ড ফাইনম্যান কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানে এক যুগান্তকারী বিপ্লব ঘটান তাঁর পাথ ইন্টিগ্রাল (Path Integral) পদ্ধতির মাধ্যমে। একটি কোয়ান্টাম সিস্টেম কেবল কোনো একক নির্দিষ্ট পথ অনুসরণ করে না; বরং সে স্থানকালের সমস্ত সম্ভাব্য পথ একসাথে অনুসন্ধান করে, যেখানে প্রতিটি পথ একটি কোয়ান্টাম ফেজ গুণক $e^{i S[phi]/hbar}$ দ্বারা প্রভাবিত হয়। এই ফাংশনাল পদ্ধতিই আধুনিক ইয়াং-মিলস গেজ তত্ত্ব, ইনস্ট্যান্টন এবং ল্যাটিস পদার্থবিজ্ঞানের মূল গাণিতিক ভিত্তি।
১. কোয়ান্টাম ফিল্ডের পাথ ইন্টিগ্রাল কাঠামো
ফাইনম্যানের কণার গতিপথ ইন্টিগ্রালকে অবিচ্ছিন্ন ফিল্ড $phi(x)$-এ সম্প্রসারিত করলে একটি বাহ্যিক সোর্স $J(x)$-এর উপস্থিতিতে ভ্যাকুয়াম-টু-ভ্যাকুয়াম ট্রানজিশন অ্যাম্প্লিটিউডকে জেনারেটিং ফাংশনাল $Z[J]$ হিসেবে লেখা হয়:
[
Z[J] = int mathcal{D}phi , expleft( i int d^4x left[ mathcal{L}(phi, partial_mu phi) + J(x)phi(x) right] right)
]
এখানে $mathcal{D}phi$ হলো স্থানকালের সমস্ত সম্ভাব্য ফিল্ড কনফিগারেশনের ওপর ফাংশনাল ইন্টিগ্রেশন।
২. ফাংশনাল ডেরিভেটিভের মাধ্যমে গ্রিন্স ফাংশন নির্ণয়
$Z[J]$-এর সবচেয়ে বড় ক্ষমতা হলো, সোর্স $J(x)$-এর সাপেক্ষে এর ফাংশনাল ডেরিভেটিভ নিলে যেকোনো $n$-পয়েন্ট কোরিলেশন ফাংশন সরাসরি বের হয়ে আসে:
[
langle 0 | T{ phi(x_1) dots phi(x_n) } | 0 rangle = left. frac{1}{i^n} frac{delta^n Z[J]}{delta J(x_1) dots delta J(x_n)} right|_{J=0}
]
এছাড়া $W[J] = -i ln Z[J]$ ফাংশনালটি সরাসরি সংযুক্ত (connected) ফাইনম্যান ডায়াগ্রামগুলোকে উৎপন্ন করে, যা সংযোগহীন ভ্যাকুয়াম বাবলগুলোকে স্বয়ংক্রিয়ভাবে বাদ দিয়ে দেয়।
৩. গাউসিয়ান ইন্টিগ্রাল ও ফাইনম্যান প্রোপাগেটর
ফ্রি ফিল্ডের ক্ষেত্রে ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানটি কোয়াড্রেটিক হওয়ায় ফাংশনাল গাউসিয়ান ইন্টিগ্রালটি নিখুঁতভাবে সমাধান করা যায়:
[
Z_0[J] = expleft( -frac{1}{2} int d^4x , d^4y , J(x) Delta_F(x – y) J(y) right)
]
এখানে $Delta_F(x – y)$ হলো বিখ্যাত ফাইনম্যান প্রোপাগেটর (Feynman Propagator):
[
Delta_F(x – y) = int frac{d^4p}{(2pi)^4} frac{i}{p^2 – m^2 + ivarepsilon} e^{-ip cdot (x – y)}
]
হরটিতে $+ivarepsilon$ যোগ করার কৌশল নিশ্চিত করে যে ধনাত্মক শক্তির কণাগুলো সময়ের সম্মুখভাগে ($t > 0$) এবং ঋণাত্মক শক্তির প্রতিকণাগুলো সময়ের বিপরীতভাগে ($t < 0$) প্রবাহিত হয়—যা আপেক্ষিক কার্যকারণ সম্পর্ককে শতভাগ নিশ্চিত করে।
৪. ইউক্লিডীয় উইক রোটেশন ও স্ট্যাটিস্টিক্যাল মেকানিক্স
পাথ ইন্টিগ্রালে $e^{iS}$ ফ্যাক্টরের দোলনের কারণে সরাসরি সমাধান করা কঠিন হয়। এর জন্য সময়কে একটি কাল্পনিক অক্ষে ঘুরিয়ে নেওয়া হয় ($t to -i tau$), যাকে বলা হয় উইক রোটেশন (Wick Rotation)। এর ফলে মিনকভস্কি স্পেস চার-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানে রূপান্তরিত হয় এবং ফেজ ফ্যাক্টরটি একটি বাস্তব সূচকে পরিণত হয়:
[
e^{i S_M / hbar} longrightarrow e^{-S_E / hbar}
]
এই রূপান্তর কোয়ান্টাম ফিল্ড থিওরিকে সরাসরি স্ট্যাটিস্টিক্যাল মেকানিক্সের সাথে যুক্ত করে, যেখানে প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক $hbar$ তাপমাত্রার মতো আচরণ করে। এই গাণিতিক সেতুবন্ধন ব্যবহার করেই সুপারকম্পিউটারে কিউসিডি (Lattice QCD)-র সিমুলেশন সম্পন্ন করা হয়।
