১৯৪০-এর দশকের শেষের দিকে যখন পদার্থবিজ্ঞানীরা ফাইনম্যান ডায়াগ্রামে ভার্চুয়াল কণার লুপের প্রভাব গণনা করতে যান, তখন তাঁরা চরম সংকটের মুখোমুখি হন: প্রায় প্রতিটি লুপ ইন্টিগ্রালের মান বের হচ্ছিল অর্থহীন অসীম (Infinities)! যেহেতু ভার্চুয়াল কণাগুলো লুপের ভেতর অসীম পরিমাণ ভরবেগ ($k to infty$) বহন করতে পারে, তাই অতিবেগুনী (UV) অঞ্চলে এই ইন্টিগ্রালগুলো ডাইভার্জ করে। লরেন্জ প্রতিসাম্য এবং গেজ প্রতিসাম্য অক্ষুণ্ণ রেখে এই অসীম মানগুলোকে নিয়ন্ত্রণ করার জন্য উদ্ভাবিত হয় রেগুলারাইজেশন তত্ত্ব, যার শীর্ষবিন্দু হলো জেরার্ড ট হফ্ট এবং মার্টিনাস ভেল্টম্যানের নোবেলজয়ী ডাইমেনশনাল রেগুলারাইজেশন পদ্ধতি।
১. লুপে অতিবেগুনী ডাইভারজেন্সের উৎপত্তি
একটি ফাইনম্যান ডায়াগ্রামে যখন কোনো আবদ্ধ লুপ থাকে, তখন ভরবেগের সংরক্ষণশীলতা লুপের ভেতরের কণার ৪-ভরবেগ $k^mu$-কে সীমাবদ্ধ করে না। ইলেকট্রনের সেলফ-এনার্জি লুপের ক্ষেত্রে ইন্টিগ্রালটি দাঁড়ায়:
[
Sigma(p) propto int d^4k , frac{sl k}{k^2(p – k)^2} sim int^Lambda frac{k^4}{k^4} dk sim Lambda quad (text{রৈখিকভাবে ডাইভারজেন্ট})
]
একইভাবে ফোটনের ভ্যাকুয়াম পোলারাইজেশন লুপটি $Lambda^2$ হারে দ্বিঘাত অসীম হয়ে ওঠে। সাধারণ মোমেন্টাম কাটঅফ $Lambda$ ব্যবহার করলে ফোটন ভরহীন থাকার ধর্ম হারিয়ে ফেলে, যা গেজ প্রতিসাম্যকে ধ্বংস করে দেয়।
২. ফাইনম্যান প্যারামিটারাইজেশন
ভিন্ন ভিন্ন ভরবেগের একাধিক হরকে একত্রিত করতে ফাইনম্যানের সমাকলন পরিচয় ব্যবহার করা হয়:
[
frac{1}{A B} = int_0^1 dx frac{1}{left[ x A + (1 – x) B right]^2}
]
এর ফলে সমাকলনের চলক পরিবর্তন করে একটি একক প্রতিসম গোলকীয় চলকে ($l = k – xp$) রূপান্তর করা সম্ভব হয়।
৩. ডাইমেনশনাল রেগুলারাইজেশন ($D = 4 – 2varepsilon$)
১৯৭২ সালে ট হফ্ট ও ভেল্টম্যান এক অনন্য সমাধান আবিষ্কার করেন: স্থানকালের মাত্রাকে ৪ না ধরে একটি জটিল মাত্রা $D = 4 – 2varepsilon$ ধরা হয়। অয়লার গামা ফাংশন ব্যবহার করে $D$-মাত্রায় সমাকলন করলে অতিবেগুনী অসীমতা একটি সহজ পোলে ($1/varepsilon$) পরিণত হয়:
[
mu^{2varepsilon} int frac{d^D l}{(2pi)^D} frac{1}{(l^2 – Delta)^2} = frac{i}{16pi^2} left[ frac{1}{varepsilon} – gamma_E + lnleft( frac{4pi mu^2}{Delta} right) right]
]
এখানে $mu$ হলো মাত্রাহীনতা রক্ষার জন্য একটি কৃত্রিম শক্তি স্কেল। যখন মাত্রা ৪-এর দিকে যায় ($varepsilon to 0$), তখন অসীম মানটি কেবল $1/varepsilon$ আকারে পরিষ্কারভাবে বিচ্ছিন্ন হয়ে যায়।
৪. গেজ প্রতিসাম্য ও ওয়ার্ড আইডেন্টিটির সুরক্ষা
যেহেতু এই পদ্ধতিতে কোনো কৃত্রিম মোমেন্টাম সীমা আরোপ করা হয় না, তাই মোমেন্টাম স্পেসের শিফটিং ইনভ্যারিয়েন্স অটুট থাকে। এর ফলে ভ্যাকুয়াম পোলারাইজেশন টেনসরটি নিখুঁতভাবে অনুপ্রস্থ শর্ত পূরণ করে:
[
q_mu Pi^{munu}(q) = 0
]
এর ফলে উচ্চতর কোয়ান্টাম লুপের সংশোধনের পরেও ফোটন চিরকাল ভরহীন থাকে এবং কিউইডি-র স্থানীয় গেজ প্রতিসাম্য অক্ষত থাকে।
