১৯২৮ সালে ব্রিটিশ পদার্থবিদ পল ডিরাক এমন একটি আপেক্ষিক তরঙ্গ সমীকরণ খুঁজছিলেন যা স্থান ও কাল উভয়ের সাপেক্ষেই প্রথম-মাত্রার ব্যবকলনযুক্ত হবে—যাতে ক্লেইন-গর্ডন সমীকরণের মতো ঋণাত্মক সম্ভাব্যতা ঘনত্বের সমস্যা এড়ানো যায়। ডিরাকের অবিশ্বাস্য আবিষ্কার ছিল এই যে, আপেক্ষিক সমীকরণকে রৈখিক করতে হলে সমীকরণের সহগগুলোকে সাধারণ সংখ্যা নয়, বরং ৪x৪ আকারের অবিনিময়যোগ্য ক্লিফোর্ড বীজগণিতের ম্যাট্রিক্স হতে হবে। এই গাণিতিক ধাঁধা সমাধান করতে গিয়ে ডিরাক স্বয়ংক্রিয়ভাবে ইলেকট্রনের অভ্যন্তরীণ স্পিন আবিষ্কার করেন এবং মহাবিশ্বে প্রথমবারের মতো অ্যান্টিম্যাটার বা প্রতিকণার (পজিট্রন) অস্তিত্বের ভবিষ্যদ্বাণী করেন।
১. সমীকরণের লিনিয়ারাইজেশন ও ক্লিফোর্ড বীজগণিত
ডিরাক প্রথম-মাত্রার হ্যামিল্টোনিয়ান সমীকরণ প্রস্তাব করেন:
[
i frac{partial psi}{partial t} = left( -i boldsymbol{alpha} cdot boldsymbol{nabla} + beta m right) psi
]
আপেক্ষিক শক্তির সম্পর্ক $E^2 = mathbf{p}^2 + m^2$ পূরণ করার জন্য $alpha_i$ এবং $beta$ অপারেটরগুলোকে অ্যান্টিকমিউট করতে হয়। এর ফলে তৈরি হয় চারটি ডিরাক গামা ম্যাট্রিক্স $gamma^0 equiv beta$ এবং $gamma^i equiv beta alpha_i$, যার মাধ্যমে সমীকরণটি লরেন্জ কোভ্যারিয়েন্ট রূপ লাভ করে:
[
(i gamma^mu partial_mu – m)psi(x) = 0
]
এখানে গামা ম্যাট্রিক্সগুলো ৪-মাত্রিক ক্লিফোর্ড বীজগণিত সন্তুষ্ট করে:
[
{gamma^mu, gamma^nu} = gamma^mu gamma^nu + gamma^nu gamma^mu = 2 eta^{munu} I_4
]
৩+১ মাত্রিক স্থানকালে এই বীজগণিত পূরণ করার জন্য গামা ম্যাট্রিক্সের ন্যূনতম আকার ৪x৪ হতে হয়, যা প্রমাণ করে যে তরঙ্গফাংশন $psi$ কেবল একটি সংখ্যা নয়, বরং চার-উপাদান বিশিষ্ট একটি স্পিনর।
২. ৪-উপাদান ডিরাক স্পিনর ও লরেন্জ রূপান্তর
ডিরাক স্পিনর $psi(x)$ সাধারণ ৪-ভেক্টর নয়। লরেন্জ গ্রুপ $operatorname{SO}(1, 3)$-এর ঘূর্ণন জেনারেটর বিশ্লেষণ করলে দেখা যায় যে এর কৌণিক ভরবেগ অপারেটরের মান দাঁড়ায় $S = hbar/2$। এর অর্থ হলো, কোয়ান্টাম মেকানিক্সে ইলেকট্রনের হাফ-স্পিন কোনো অতিরিক্ত শর্ত নয়; এটি স্থানকালের আপেক্ষিক প্রতিসাম্যেরই প্রত্যক্ষ এবং অবধারিত জ্যামিতিক পরিণতি।
৩. ধনাত্মক ও ঋণাত্মক শক্তি সমাধান এবং ডিরাক সি
সমীকরণটি সমাধান করলে প্রতিটি ভরবেগের জন্য চারটি স্বাধীন স্পিনর পাওয়া যায়:
- দুটি ধনাত্মক শক্তির সমাধান ($E = +E_mathbf{p}$): স্পিন-আপ ও স্পিন-ডাউন ইলেকট্রন।
- দুটি ঋণাত্মক শক্তির সমাধান ($E = -E_mathbf{p}$): ঋণাত্মক শক্তির কণা।
ইলেকট্রনগুলো যাতে ঋণাত্মক শক্তিতে অবিরাম নেমে না যায়, সেজন্য ডিরাক পাউলি বর্জন নীতি প্রয়োগ করে প্রস্তাব করেন যে ভ্যাকুয়াম বা শূন্যস্থান আসলে ঋণাত্মক শক্তির ইলেকট্রন দ্বারা সম্পূর্ণ পূর্ণ একটি সমুদ্র (ডিরাক সি)। এই সমুদ্রের একটি ইলেকট্রন শক্তি পেয়ে বের হয়ে এলে সেখানে যে শূন্যতা বা “হোল” (Hole) তৈরি হয়, তা ধনাত্মক চার্জ ও ধনাত্মক শক্তিসম্পন্ন একটি কণার মতো আচরণ করে: যার নাম পজিট্রন ($e^+$)। ১৯৩২ সালে কার্ল অ্যান্ডারসন মহাজাগতিক রশ্মিতে এই পজিট্রন শনাক্ত করেন।
৪. অ্যান্টিকমিউটেটর দ্বারা কোয়ান্টাইজেশন ও স্পিন-পরিসংখ্যান
আধুনিক ফিল্ড থিওরিতে ডিরাক সি-র রূপক বাদ দিয়ে ফিল্ড অপারেটর কোয়ান্টাইজেশন ব্যবহার করা হয়:
[
psi(x) = int frac{d^3p}{(2pi)^3 sqrt{2E_mathbf{p}}} sum_{s=1,2} left( b_mathbf{p}^s u_s(mathbf{p}) e^{-ip cdot x} + d_mathbf{p}^{sdagger} v_s(mathbf{p}) e^{ip cdot x} right)
]
এখানে $b_mathbf{p}^s$ হলো ইলেকট্রন ধ্বংসকারী অপারেটর এবং $d_mathbf{p}^{sdagger}$ হলো পজিট্রন সৃষ্টিকারী অপারেটর। ভ্যাকুয়ামের শক্তি যাতে ঋণাত্মক অসীমে না চলে যায় এবং কার্যকারণ সম্পর্ক যাতে অটুট থাকে, তার জন্য সমকালীন অ্যান্টিকমিউটেটর আরোপ করা বাধ্যতামূলক:
[
{psi_alpha(mathbf{x}, t), psi_beta^dagger(mathbf{y}, t)} = delta_{alphabeta} , delta^{(3)}(mathbf{x} – mathbf{y})
]
এটিই হলো স্পিন-স্ট্যাটিস্টিকস উপপাদ্যের গাণিতিক প্রমাণ: ভগ্নাংশ স্পিনের কণা ফার্মি-ডিরাক পরিসংখ্যান এবং পাউলি বর্জন নীতি মেনে চলতে বাধ্য, যার কারণে পরমাণুর ইলেকট্রন খোলস গঠিত হয় এবং সমগ্র বস্তু মহাবিশ্বের গাঠনিক স্থায়িত্ব অক্ষুণ্ণ থাকে।
