কোয়ান্টাম ফিল্ড থিওরি ও স্ট্যান্ডার্ড মডেল (পর্ব ০৮): নন-অ্যাবেলিয়ান গেজ প্রতিসাম্য ও ইয়াং-মিলস সমীকরণ

১৯৫৪ সালে পদার্থবিদ চেন-নিং ইয়াং এবং রবার্ট মিলস এক যুগান্তকারী প্রশ্ন তোলেন: ফিল্ডের স্থানীয় ফেজ রূপান্তরটি যদি সাধারণ বিনিময়যোগ্য কোণ $e^{ialpha(x)} in U(1)$ না হয়ে $SU(2)$ বা $SU(3)$-এর মতো অবিনিময়যোগ্য (Non-Abelian) ম্যাট্রিক্স গ্রুপ হয়, তবে কী ঘটবে? এর উত্তর ছিল ইয়াং-মিলস তত্ত্ব (Yang-Mills Theory)—যা আধুনিক স্ট্যান্ডার্ড মডেলের পরম মূল ভিত্তি। নন-অ্যাবেলিয়ান গেজ তত্ত্বে বলের বাহক কণাগুলো (যেমন গ্লুয়ন বা ডব্লিউ বোসন) নিজেরাই চার্জ বহন করে এবং নিজেদের মধ্যে তীব্র সরাসরি মিথস্ক্রিয়া ঘটায়।

১. নন-অ্যাবেলিয়ান লি গ্রুপ ও লোকাল ট্রান্সফরমেশন

ধরা যাক একটি কণা মাল্টিপ্লেট $psi(x)$ একটি কমপ্যাক্ট লি গ্রুপ $G$-এর অধীনে রূপান্তর লাভ করে:

[
psi(x) longrightarrow U(x) psi(x) = expleft( i g alpha^a(x) T^a right) psi(x)
]

এখানে $T^a$ হলো লি বীজগণিতের জেনারেটর, যা কমিউটেটর সম্পর্ক মেনে চলে:

[
[T^a, T^b] = i f^{abc} T^c
]

এখানে $f^{abc}$ হলো কাঠামো ধ্রুবক (Structure Constants)। এটি শূন্য না হওয়ার কারণেই গ্রুপটি “নন-অ্যাবেলিয়ান” বা অবিনিময়যোগ্য হয়ে ওঠে।

২. নন-অ্যাবেলিয়ান কোভ্যারিয়েন্ট ডেরিভেটিভ ও বক্রতা

স্থান সাপেক্ষে প্রতিসাম্য বজায় রাখতে নন-অ্যাবেলিয়ান কোভ্যারিয়েন্ট ডেরিভেটিভ সংজ্ঞায়িত করা হয়:

[
D_mu equiv partial_mu – i g A_mu^a T^a
]

কোভ্যারিয়েন্ট ডেরিভেটিভের কমিউটেটর থেকে ফিল্ড স্ট্রেংথ টেনসর পাওয়া যায়:

[
F_{munu}^a = partial_mu A_nu^a – partial_nu A_mu^a + g f^{abc} A_mu^b A_nu^c
]

এই শেষ পদটি ($g f^{abc} A_mu^b A_nu^c$) চিরায়ত ম্যাক্সওয়েল তত্ত্বে অনুপস্থিত ছিল। এই নন-লিনিয়ার পদের কারণেই গেজ বোসনগুলো নিজেরাই নিজেদের সাথে মিথস্ক্রিয়া করার ক্ষমতা অর্জন করে।

৩. ইয়াং-মিলস ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান ও স্ব-মিথস্ক্রিয়া

ইয়াং-মিলস ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান ঘনত্ব হলো:

[
mathcal{L}_{text{YM}} = -frac{1}{4} F_{munu}^a F^{amunu}
]

এই সমীকরণ বিস্তার করলে কাইনেটিক পদের পাশাপাশি সরাসরি ৩-বোসন এবং ৪-বোসন স্ব-মিথস্ক্রিয়া ভার্টেক্স বেরিয়ে আসে! ফোটনের নিজস্ব কোনো চার্জ নেই, তাই দুটি ফোটন সরাসরি একে অপরকে ধাক্কা দেয় না। কিন্তু ৮টি গ্লুয়ন নিজেরা কালার চার্জ বহন করায় এবং ডব্লিউ বোসনগুলো উইক চার্জ বহন করায় তারা নিজেদের ভেতর প্রচণ্ড শক্তিশালী মিথস্ক্রিয়া ঘটায়।

৪. ফাদেভ-পপভ ঘোস্ট ও বিআরএসটি (BRST) প্রতিসাম্য

পাথ ইন্টিগ্রালে নন-অ্যাবেলিয়ান ফিল্ডের কোয়ান্টাইজেশন করতে গিয়ে লুদভিগ ফাদেভ এবং ভিক্টর পপভ দেখান যে অবাস্তব পোলারাইজেশনগুলো দূর করার জন্য লুপের ভেতরে কিছু কাল্পনিক কণিকা বা ফাদেভ-পপভ ঘোস্ট (Ghost Fields) প্রবর্তন করতে হয়। বেক্কি, রুয়েট, স্টোরা এবং টিউতিন (BRST) প্রমাণ করেন যে ঘোস্ট ফিল্ডযুক্ত এই ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানটি একটি নিখুঁত কোয়ান্টাম প্রতিসাম্য মেনে চলে, যা ইয়াং-মিলস তত্ত্বের রিনরমালাইজেবিলিটি এবং ফিজিক্যাল ইউনিটারিটি নিশ্চিত করে।

শাকিল মাহমুদ সজল

সফটওয়্যার প্রকৌশলী ও লেখক, ঢাকা, বাংলাদেশ। কম্পিউটার বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, ইতিহাস ও ভাবনার সমন্বয়ে ব্যক্তিগত নোট ও প্রবন্ধ সংকলন।