সার্নের লার্জ হ্যাড্রন কোলাইডারের মতো বিশালাকার কণা ত্বরক যন্ত্রে কীভাবে অতিপারমাণবিক ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানের বিমূর্ত প্রতিসাম্যকে বাস্তব পরীক্ষামূলক সংঘর্ষের ফলাফলে (cross-section) রূপান্তর করা হয়? এর উত্তর পাওয়া যায় স্ক্যাটারিং ম্যাট্রিক্স ($S$-ম্যাট্রিক্স) এবং রিচার্ড ফাইনম্যানের অনন্য উদ্ভাবন: ফাইনম্যান ডায়াগ্রাম (Feynman Diagrams)-এ। জটিল বহু-মাত্রিক পারটারবেশন ইন্টিগ্রালগুলোকে কণার চলাচলের রেখা ও মিথস্ক্রিয়ার শীর্ষবিন্দুতে রূপান্তর করে ফাইনম্যান কোয়ান্টাম হিসাব-নিকাশে এক জাদুকরী বৈপ্লবিক গতি এনে দেন।
১. এস-ম্যাট্রিক্স ও ডাইসনের বিস্তার
যেকোনো কণা সংঘর্ষে প্রারম্ভিক অবস্থা $|irangle$ থেকে সংঘর্ষের পর চূড়ান্ত অবস্থা $|frangle$-এ রূপান্তরকে একক ইউনিটারি $S$-ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রকাশ করা হয়। টাইম-অর্ডারিং অপারেটর ব্যবহার করে ফ্রিম্যান ডাইসন এই ম্যাট্রিক্সের বিস্তার সমীকরণ প্রণয়ন করেন:
[
S = T left{ expleft( -i int_{-infty}^infty dt , H_{text{int}}(t) right) right} = I + i T
]
এখানে ৪-ভরবেগের সংরক্ষণশীলতা বাদ দিলে পাওয়া যায় ইনভেরিয়েন্ট স্ক্যাটারিং অ্যাম্প্লিটিউড $mathcal{M}$:
[
langle f | i T | i rangle = (2pi)^4 delta^{(4)}left( sum p_f – sum p_i right) i mathcal{M}_{fi}
]
২. উইকের উপপাদ্য: অপারেটর থেকে প্রোপাগেটরে রূপান্তর
টাইম-অর্ডার্ড অপারেটরদের গুণফল সরাসরি গণনা করা প্রায় অসম্ভব। গণিতবিদ জিয়ান-কার্লো উইক প্রমাণ করেন যে যেকোনো টাইম-অর্ডার্ড গুণফলকে তার নরমাল-অর্ডার্ড গুণফল এবং সমস্ত সম্ভাব্য জোড়ায় ফাইনম্যান কনট্রাকশনের যোগফল হিসেবে প্রকাশ করা যায়। দুটি ফিল্ডের কনট্রাকশন মূলত ফাইনম্যান প্রোপাগেটর তৈরি করে:
[
overbrace{phi(x)phi(y)}^{bullet} = langle 0 | T{phi(x)phi(y)} | 0 rangle = Delta_F(x – y)
]
ভ্যাকুয়াম অবস্থায় নরমাল-অর্ডার্ড টার্মগুলোর মান শূন্য হয়ে যাওয়ায় কেবল প্রোপাগেটরগুলোর নেটওয়ার্ক অবশিষ্ট থাকে, যা ফাইনম্যান ডায়াগ্রামের বিভিন্ন বাহুর প্রতিনিধিত্ব করে।
৩. কিউইডি-তে ট্রি-লেভেল মোলার স্ক্যাটারিং
ইলেকট্রন-ইলেকট্রন সংঘর্ষে ($e^- e^- to e^- e^-$) দ্বিতীয় অর্ডারে দুটি ডায়াগ্রাম ভূমিকা রাখে:
- $t$-চ্যানেল বিনিময়: দুটি ইলেকট্রন কারেন্টের মধ্যে একটি ভার্চুয়াল ফোটনের বিনিময় ($q = p_1 – p_3$)।
- $u$-চ্যানেল বিনিময়: পাউলি বর্জন নীতির কারণে কণা বিনিময়ে একটি অতিরিক্ত ঋণাত্মক চিহ্নসহ সমান্তরাল বিনিময় ($p_3 leftrightarrow p_4$)।
ফাইনম্যান রুলস প্রয়োগ করে স্ক্যাটারিং অ্যাম্প্লিটিউড পাওয়া যায়:
[
i mathcal{M} = -e^2 left[ frac{bar{u}(p_3) gamma^mu u(p_1) , bar{u}(p_4) gamma_mu u(p_2)}{t} – frac{bar{u}(p_4) gamma^mu u(p_1) , bar{u}(p_3) gamma_mu u(p_2)}{u} right]
]
৪. ম্যান্ডেলস্টাম চলক ও ডিফারেনশিয়াল ক্রস-সেকশন
সংঘর্ষের গতিবিদ্যাকে যেকোনো নির্দেশতন্ত্রে সহজে প্রকাশের জন্য স্ট্যানলি ম্যান্ডেলস্টাম তিনটি লরেন্জ-ইনভেরিয়েন্ট চলক সংজ্ঞায়িত করেন:
[
s = (p_1 + p_2)^2, quad t = (p_1 – p_3)^2, quad u = (p_1 – p_4)^2
]
ভরবেগের সংরক্ষণশীলতার কারণে এদের যোগফল সর্বদা কণাগুলোর ভরের বর্গের সমান থাকে ($s + t + u = sum m_i^2$)। অ্যাম্প্লিটিউডের মান থেকে ডিফারেনশিয়াল ক্রস-সেকশন $frac{dsigma}{dOmega} propto |mathcal{M}|^2$ নির্ণয় করা হয়—যা কণা শনাক্তকারী ডিটেক্টরে প্রতি সেকেন্ডে ঠিক কয়টি কণা ধরা পড়বে তা নির্ভুলভাবে জানিয়ে দেয়।
