১৯৬০-এর দশকে তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞান স্কেল বা মাত্রার এক গভীর সংকটের মুখোমুখি হয়েছিল। যেকোনো ধারাবাহিক দশা রূপান্তরের সন্ধিক্ষণে—ফুটন্ত তরলে, চৌম্বক রূপান্তরে বা ধাতব মিশ্রণে—কোরিলেশন দৈর্ঘ্য অসীমের দিকে ধাবিত হয় ($xi to infty$)। এই সন্ধিমুহূর্তে পরমাণুর অতি-ক্ষুদ্র আণুবীক্ষণিক কম্পন ($১০^{-১০}$ মিটার) ম্যাক্রোস্কোপিক সেন্টিমিটার স্কেলের বিশাল তরঙ্গের সাথে একীভূত হয়ে যায়। ফলে প্রচলিত গাণিতিক তত্ত্বগুলো সম্পূর্ণ অচল হয়ে পড়ে। কিন্তু বিজ্ঞানীদের সবচেয়ে বেশি অবাক করেছিল যে সম্পূর্ণ ভিন্ন আণবিক গঠনের দুটি ব্যবস্থা—যেমন কার্বন ডাই অক্সাইড তরল এবং কঠিন লোহার স্ফটিক—সন্ধিবিন্দুতে হুবহু একই পরম সূচক (critical exponents) প্রদর্শন করে কেন? ১৯৭১ সালে আমেরিকান পদার্থবিদ কেনেথ উইলসন রিনরমালাইজেশন গ্রুপ (Renormalization Group বা RG) তত্ত্বের মাধ্যমে এই রহস্যের সমাধান করেন—যা পদার্থবিজ্ঞানের ইতিহাসকে চিরতরে বদলে দিয়েছিল।
কাদানফের ব্লক-স্পিন ধারণা
১৯৬৬ সালে লিও কাদানফ একটি স্বজ্ঞাত গাণিতিক পদ্ধতির প্রস্তাব করেন। একটি বর্গাকার ল্যাটিসে পাশাপাশি স্পিনগুলোকে $b times b$ আকারের ব্লকে বিভক্ত করা যাক। প্রতিটি ব্লকের অধিকাংশ স্পিন যেদিকে মুখ করে আছে, সেই অনুযায়ী ব্লকটির জন্য একটি নতুন কার্যকরী স্পিন $s’_I = pm 1$ নির্ধারণ করা হয়:
$$s’_I = operatorname{sign}left( sum_{i in text{Block } I} s_i right)$$
ক্ষুদ্র দূরত্বের জটিল ওঠানামাগুলোকে সমষ্টিগতভাবে বিলীন করে দিয়ে এই ব্যবস্থাটিকে একটি নতুন কার্যকর মিথস্ক্রিয়া ধ্রুবক $K’$-এ রূপান্তরিত করা যায়:
$$K’ = mathcal{R}_b(K)$$
যেহেতু দূরত্বকে $b$ গুণ সংকুচিত করা হয়েছে, তাই কোরিলেশন দৈর্ঘ্য রূপান্তর হবে $xi(K’) = xi(K) / b$ সূত্র অনুযায়ী। সন্ধি তাপমাত্রায় কোরিলেশন দৈর্ঘ্য অসীম ($xi = infty$)। অসীমকে $b$ দিয়ে ভাগ করলেও অসীমই থাকে। ফলে সন্ধিবিন্দুটি মূলত রিনরমালাইজেশন গ্রুপের একটি ফিক্সড পয়েন্ট (Fixed Point):
$$K^* = mathcal{R}_b(K^*)$$
হ্যামিল্টোনিয়ান স্পেসে উইলসনের গতিশীল প্রবাহ
কেনেথ উইলসন কাদানফের এই ধারণাকে এক পরাক্রমশালী গাণিতিক তত্ত্বে উন্নীত করেন। একটি মাত্র ধ্রুবকের বদলে উইলসন সমস্ত সম্ভাব্য হ্যামিল্টোনিয়ানের এক অসীম-মাত্রিক স্থানে আরজি প্রবাহ বিবেচনা করেন। ফিক্সড পয়েন্ট $mathcal{H}^*$-এর কাছাকাছি এই প্রবাহের আইগেনমানগুলো ($b^{y_i}$) মহাবিশ্বের সমস্ত মিথস্ক্রিয়াকে তিনটি মৌলিক শ্রেণিতে বিভক্ত করে:
- প্রাসঙ্গিক অপারেটর (Relevant Operators, $y_i > 0$): স্কেল বড় করার সাথে সাথে এদের প্রভাব দ্রুত বৃদ্ধি পায়। এরা ব্যবস্থাকে ফিক্সড পয়েন্ট থেকে দূরে ঠেলে দেয়। একটি চুম্বকের জন্য তাপমাত্রা $t = (T – T_c)/T_c$ এবং বাহ্যিক চৌম্বক ক্ষেত্র $h$ হলো একমাত্র দুটি প্রাসঙ্গিক চলক।
- অপ্রাসঙ্গিক অপারেটর (Irrelevant Operators, $y_i < 0$): স্কেল বড় হওয়ার সাথে সাথে এদের প্রভাব ক্ষয়ে ক্ষয়ে শূন্যে মিলিয়ে যায়। পরমাণুর নিখুঁত আকৃতি, ল্যাটিসের সূক্ষ্ম ত্রুটি এবং জটিল রাসায়নিক বন্ধনের সমস্ত খুঁটিনাটি তথ্য আরজি প্রবাহ মুছে ফেলে দেয়!
- প্রান্তিক অপারেটর (Marginal Operators, $y_i = 0$): প্রথম মাত্রায় এদের মান অপরিবর্তিত থাকে।
সর্বজনীনতার (Universality) গাণিতিক অলৌকিকত্ব
উইলসনের এই প্রবাহ চিত্র থেকেই ব্যাখ্যা পাওয়া যায় সর্বজনীনতার (Universality)। যেহেতু অপ্রাসঙ্গিক অপারেটরগুলো দূরত্বের সাথে শূন্যে বিলীন হয়ে যায়, তাই কোটি কোটি ভিন্ন ভিন্ন আণুবীক্ষণিক ব্যবস্থা শেষ পর্যন্ত হুবহু একই ফিক্সড পয়েন্টের মহাকর্ষীয় বলয়ে পতিত হয়।
এর ফলে মুক্ত শক্তির সূত্রটি এমন একটি সম্পর্কে রূপ নেয় যেখানে সমস্ত ক্রিটিক্যাল সূচক কেবল দুটি বিষয়ের ওপর নির্ভর করে: স্থানিক মাত্রা $d$ এবং অর্ডার প্যারামিটারের প্রতিসাম্য $n$:
$$alpha = 2 – frac{d}{y_t}, quad beta = frac{d – y_h}{y_t}, quad gamma = frac{2 y_h – d}{y_t}$$
সন্ধিবিন্দুতে থাকা তরল গ্যাস হোক কিংবা কঠিন লোহার চুম্বক—উভয়ের স্থানিক মাত্রা ৩ ($d=3$) এবং অর্ডার প্যারামিটার একমাত্রিক স্কেলার ($n=1$)। তাই প্রকৃতি তাদের বাধ্য করে হুবহু একই ক্রিটিক্যাল সূচক ($beta approx ০.৩২৬, gamma approx ১.২৩৭$) প্রদর্শন করতে। এই অবিস্মরণীয় অবদানের জন্য ১৯৮২ সালে কেনেথ উইলসন নোবেল পুরস্কারে ভূষিত হন। প্রকৃতি প্রমাণ করেছিল যে সন্ধিক্ষণে সে তার আণুবীক্ষণিক জটিলতা ঝেড়ে ফেলে এক নিখুঁত স্কেল-অবিচল ফ্র্যাক্টালে পরিণত হয়।
