অষ্টাদশ ও ঊনবিংশ শতাব্দী জুড়ে চিরায়ত তাপগতিবিদ্যা ছিল বিজ্ঞানের এক অনন্য বিস্ময়। এটি নির্ভুলভাবে হিসাব করতে পারত বাষ্পের প্রসারণ, পিস্টনের গতি এবং রাসায়নিক সাম্যাবস্থা—কিন্তু পদার্থের আণুবীক্ষণিক গঠন সম্পর্কে তা ছিল সম্পূর্ণ নীরব। চাপ আসলে কী? তাপমাত্রা বলতে মৌলিকভাবে কী বোঝায়? ১৮৫৯ সালে স্কটিশ গণিতবিদ ও পদার্থবিজ্ঞানী জেমস ক্লার্ক ম্যাক্সওয়েল সেই অদৃশ্যের জগতে এক দুঃসাহসী পদক্ষেপ ফেললেন। তিনি গ্যাসকে কোনো অবিচ্ছিন্ন তরল না ভেবে নিউটনের গতিসূত্র মেনে চলা ট্রিলিয়ন ট্রিলিয়ন স্থিতিস্থাপক গোলাকার পরমাণুর এক বিশাল বিশৃঙ্খল ঝাঁক হিসেবে কল্পনা করলেন। এই অনুমানের ভিত্তিতে ম্যাক্সওয়েল পদার্থবিজ্ঞানের প্রথম পরিসংখ্যানিক সূত্র আবিষ্কার করলেন: আণবিক দ্রুতি বণ্টন সমীকরণ।
গতিতত্ত্ব থেকে চাপের পরিসংখ্যানিক প্রতিপাদন
$V = L^3$ আয়তনের একটি ঘনকাকার পাত্রে $N$ সংখ্যক $m$ ভরের আদর্শ গ্যাস কণা বিবেচনা করা যাক। $v_x$ বেগে চলমান একটি কণা যখন $x$-অক্ষের উল্লম্ব দেওয়ালে স্থিতিস্থাপক ধাক্কা খায়, তখন তার ভরবেগের পরিবর্তন ঘটে $Delta p_x = 2 m v_x$। দেওয়ালটিতে দুটি পরপর ধাক্কার মধ্যবর্তী সময় $Delta t = 2L / v_x$। নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র অনুযায়ী এই কণাটির দ্বারা দেওয়ালের ওপর প্রযুক্ত গড় বল:
$$F_x = frac{Delta p_x}{Delta t} = frac{2 m v_x}{2L / v_x} = frac{m v_x^2}{L}$$
সকল $N$ সংখ্যক কণার জন্য এই বলের সমষ্টি নিয়ে দেওয়ালের ক্ষেত্রফল $A = L^2$ দ্বারা ভাগ করলে মোট চাপ পাওয়া যায়:
$$P = frac{1}{L^2} sum_{i=1}^N frac{m v_{x, i}^2}{L} = frac{N m}{V} langle v_x^2 rangle$$
যেহেতু মহাকর্ষহীন গ্যাসে সব দিক সমান (আইসোট্রপিক), তাই কণার বেগ তিনটি মাত্রাতেই সমানভাবে বণ্টিত থাকে: $langle v^2 rangle = langle v_x^2 rangle + langle v_y^2 rangle + langle v_z^2 rangle = 3 langle v_x^2 rangle$। সুতরাং $langle v_x^2 rangle = frac{1}{3} langle v^2 rangle$ বসালে গতিতত্ত্বের মহান সমীকরণটি বেরিয়ে আসে:
$$P V = frac{1}{3} N m langle v^2 rangle = frac{2}{3} N left(frac{1}{2} m langle v^2 rangleright) = frac{2}{3} E_{text{kin}}$$
আদর্শ গ্যাসের পরীক্ষালব্ধ সূত্র $P V = N k_B T$-এর সাথে এর তুলনা করলেই তাপমাত্রার গোপন রহস্য উন্মোচিত হয়:
$$leftlangle frac{1}{2} m v^2 rightrangle = frac{3}{2} k_B T$$
তাপমাত্রা কোনো রহস্যময় তরল নয়; তাপমাত্রা হলো অণুগুলোর গড় রৈখিক গতিশক্তির প্রত্যক্ষ পরিমাপক।
ম্যাক্সওয়েলের দ্রুতি বণ্টন ও গাণিতিক কাঠামো
ম্যাক্সওয়েল উপলব্ধি করেন যে, প্রতিটি আণবিক সংঘর্ষ চরম বিশৃঙ্খল হলেও সামগ্রিকভাবে সাম্যাবস্থায় বেগের বণ্টন হতে হবে স্থির ও অপরিবর্তনীয়। তিনি ধরে নেন যে তিনটি স্থানাঙ্কের বেগ উপাদান $(v_x, v_y, v_z)$ পরিসংখ্যানগতভাবে স্বাধীন, ফলে যৌথ সম্ভাবনাকে গুণফল হিসেবে লেখা যায়:
$$f(mathbf{v}) = phi(v_x) phi(v_y) phi(v_z)$$
আবার স্থানিক প্রতিসাম্যের কারণে এই সম্ভাবনা কেবল বেগের পরম মান $v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$-এর ওপর নির্ভর করতে পারে। এই সমীকরণটি সমাধানের একমাত্র গাণিতিক রূপ হলো এক্সপোনেনশিয়াল গাউসিয়ান কার্ভ:
$$phi(v_x) = left(frac{m}{2pi k_B T}right)^{1/2} expleft(-frac{m v_x^2}{2 k_B T}right)$$
তিন মাত্রার বেগ স্পেসে $v$ ব্যাসার্ধের একটি পাতলা গোলকীয় খোলের ক্ষেত্রফল $4pi v^2 dv$ দিয়ে সমাকলন করলে পাওয়া যায় বিখ্যাত ম্যাক্সওয়েল-বোল্টজম্যান দ্রুতি বণ্টন:
$$f(v) , dv = 4pi left(frac{m}{2pi k_B T}right)^{3/2} v^2 expleft(-frac{m v^2}{2 k_B T}right) dv$$
তিনটি চারিত্রিক দ্রুতি ও শক্তির সমবণ্টন নীতি
বণ্টনটি প্রতিসম নয়—শুরুতে $v^2$-এর কারণে এটি দ্রুত উপরে ওঠে এবং উচ্চ বেগে $e^{-m v^2 / 2k_B T}$-এর প্রভাবে দীর্ঘ লেজ তৈরি করে নিচে নেমে আসে। ফলে এখান থেকে তিনটি ভিন্ন চারিত্রিক দ্রুতি পাওয়া যায়:
- সর্বাধিক সম্ভাব্য দ্রুতি ($v_{text{mp}}$): $f(v)$-এর শীর্ষবিন্দু ($frac{df}{dv} = 0$):
$$v_{text{mp}} = sqrt{frac{2 k_B T}{m}}$$ - গড় দ্রুতি ($bar{v}$): প্রথম মোমেন্ট $int_0^infty v f(v) , dv$:
$$bar{v} = sqrt{frac{8 k_B T}{pi m}}$$ - মূল-গড়-বর্গ দ্রুতি ($v_{text{rms}}$): গতিশক্তির সাথে সরাসরি সম্পর্কিত:
$$v_{text{rms}} = sqrt{frac{3 k_B T}{m}}$$
এই সার্বজনীন ক্রম $v_{text{mp}} < bar{v} < v_{text{rms}}$ তাপীয় সাম্যাবস্থার এক মৌলিক নিদর্শন। পরবর্তীতে লুডভিগ বোল্টজম্যান একে প্রসারিত করে প্রতিষ্ঠা করেন শক্তির সমবণ্টন নীতি (Equipartition Theorem): তাপীয় সাম্যাবস্থায় প্রতিটি দ্বিঘাত স্বাধীনতার মাত্রা (রৈখিক, ঘূর্ণন বা কম্পন) ঠিক $frac{1}{2} k_B T$ পরিমাণ তাপীয় শক্তি ধারণ করে। তাপ আর কোনো বিমূর্ত ধারণা রইল না—তা রূপ নিল কোটি কোটি পরমাণুর স্পন্দিত নৃত্যে।
