লুডভিগ বোল্টজম্যানের মাইক্রোক্যানোনিকাল এনসেম্বলে একটি ব্যবস্থাকে সম্পূর্ণ অন্তরকযুক্ত দৃঢ় প্রাচীরের ভেতর আবদ্ধ রাখা হয়, যেখানে মোট শক্তি চিরকাল স্থির। কিন্তু আমাদের চেনা মহাবিশ্বের প্রায় কিছুই পুরোপুরি বিচ্ছিন্ন নয়। টেবিলে রাখা এক কাপ কফি চারপাশের বায়ুমণ্ডলের সাথে অনবরত তাপীয় শক্তি বিনিময় করছে। জীবকোষের ডিএনএ অণু ৩১০ কেলভিন তাপমাত্রার অবিরাম পানির অণুর ধাক্কা সহ্য করছে। কোনো বিশাল তাপীয় আধারের সাথে সাম্যাবস্থায় থাকা যেকোনো বাস্তব ব্যবস্থাকে ব্যাখ্যা করতে আমেরিকান পদার্থবিদ জোসিয়াহ উইলার্ড গিবস আবিষ্কার করেন ক্যানোনিকাল এনসেম্বল (Canonical Ensemble)। আর এর কেন্দ্রবিন্দুতে রয়েছে আধুনিক তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানের সবচেয়ে শক্তিশালী গাণিতিক যন্ত্র: পার্টিশন ফাংশন।

বোল্টজম্যান ফ্যাক্টর ও সম্ভাবনার প্রতিপাদন

বিশাল তাপীয় আধার $R$-এর সাথে তাপীয় সংস্পর্শে থাকা একটি ক্ষুদ্র ব্যবস্থা $S$ বিবেচনা করা যাক। সামগ্রিক ব্যবস্থা $S + R$ সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন এবং মোট শক্তি $E_{text{tot}} = E_i + E_R$ ধ্রুবক, যেখানে $E_i$ হলো $S$-এর একটি নির্দিষ্ট মাইক্রোস্টেটের শক্তি। যেহেতু আধারটি সুবিশাল ($E_R gg E_i$), তাই এর স্বাধীনতার মাত্রা উপব্যবস্থার চেয়ে কোটি কোটি গুণ বেশি।

পরিসংখ্যানিক বলবিদ্যার স্বতঃসিদ্ধ অনুযায়ী, ব্যবস্থাটি $E_i$ শক্তিতে থাকার সম্ভাবনা $P_i$ সরাসরি আধারের গ্রহণযোগ্য মাইক্রোস্টেটের সংখ্যা $Omega_R(E_{text{tot}} – E_i)$-এর সমানুপাতিক:

$$P_i propto Omega_R(E_{text{tot}} – E_i) = expleft( frac{S_R(E_{text{tot}} – E_i)}{k_B} right)$$

যেহেতু $E_i ll E_{text{tot}}$, তাই আধারের এন্ট্রপিকে টেইলর ধারায় বিস্তৃত করা যায়:

$$S_R(E_{text{tot}} – E_i) approx S_R(E_{text{tot}}) – E_i left( frac{partial S_R}{partial E_R} right) = S_R(E_{text{tot}}) – frac{E_i}{T}$$

উচ্চতর পদগুলোর মান শূন্যে মিলিয়ে যায় কারণ আধারের তাপধারণ ক্ষমতা অসীম ($C_R to infty$)। ফলে আমরা পাই বিশ্বখ্যাত বোল্টজম্যান ফ্যাক্টর:

$$P_i propto expleft(-frac{E_i}{k_B T}right) = e^{-beta E_i}$$

যেখানে $beta equiv frac{1}{k_B T}$ হলো তাপগতিবিদ্যার বিপরীতমুখী তাপমাত্রা।

ক্যানোনিকাল পার্টিশন ফাংশন: তাপগতিবিদ্যার মূল চাবিকাঠি

সম্ভাবনার যোগফলকে ১ করার জন্য সমস্ত মাইক্রোস্টেটের ওপর বোল্টজম্যান ফ্যাক্টরের সমষ্টি নেওয়া হয়, যাকে ম্যাক্স প্লাঙ্ক ও গিবস নাম দেন Zustandssumme বা ক্যানোনিকাল পার্টিশন ফাংশন ($Z$):

$$Z = sum_{i} e^{-beta E_i}$$

পার্টিশন ফাংশন কেবল একটি সাধারণ ধ্রুবক নয়; এটি তাপগতিবিদ্যার সকল দৃশ্যমান ধর্মাবলীর জন্মদাত্রী গাণিতিক উৎস। এর লগারিদমিক ব্যবকলন থেকেই নিখুঁতভাবে বেরিয়ে আসে সকল ভৌত রাশি:

  • গড় অভ্যন্তরীণ শক্তি $langle E rangle$:
    $$langle E rangle = sum_i E_i P_i = -frac{partial ln Z}{partial beta}$$
  • শক্তির বিচ্যুতি ও তাপধারণ ক্ষমতা:
    $$sigma_E^2 = langle E^2 rangle – langle E rangle^2 = frac{partial^2 ln Z}{partial beta^2} = k_B T^2 C_V$$

Z থেকে হেলমহোল্টজ মুক্ত শক্তি

পার্টিশন ফাংশনের এই আণুবীক্ষণিক সমষ্টির সাথে ম্যাক্রোস্কোপিক তাপগতিবিদ্যার সরাসরি সম্পর্ক কী? ক্যানোনিকাল বণ্টনের জন্য গিবস এন্ট্রপি হিসাব করলে পাওয়া যায়:

$$S = -k_B sum_{i} P_i ln P_i = frac{langle E rangle}{T} + k_B ln Z implies -k_B T ln Z = langle E rangle – T S$$

একে হেলমহোল্টজ মুক্ত শক্তি $F = U – TS$-এর সাথে তুলনা করলেই পরিসংখ্যানিক বলবিদ্যার সেই মহান সমীকরণটি বেরিয়ে আসে:

$$F = -k_B T ln Z$$

ম্যাক্রোস্কোপিক জগতের পরম স্থায়িত্ব

ক্যানোনিকাল এনসেম্বলে ব্যবস্থাটির শক্তি স্থির নয়; আধারের সাথে তা অনবরত শক্তি আদান-প্রদান করে ওঠানামা করে। তবে টেবিলে রাখা এক গ্লাস পানির শক্তি কেন কখনোই দৃশ্যমানভাবে পরিবর্তিত হয় না? এর উত্তর লুকিয়ে আছে আপেক্ষিক শক্তিব্যবধানে:

$$frac{sigma_E}{langle E rangle} = frac{sqrt{k_B T^2 C_V}}{langle E rangle} propto frac{sqrt{N}}{N} = frac{1}{sqrt{N}}$$

যেহেতু সাধারণ বস্তুতে পরমাণুর সংখ্যা $N approx ১০^{২৩}$, তাই শক্তির আপেক্ষিক তারতম্য ঘটে মাত্র $১০^{-১১.৫}$ মাত্রায়—যা পৃথিবীর যেকোনো অতিসংবেদনশীল পরিমাপক যন্ত্রের সীমার চেয়েও কোটি গুণ সূক্ষ্ম! ফলে বাস্তব জগতে ক্যানোনিকাল এনসেম্বল হুবহু মাইক্রোক্যানোনিকাল এনসেম্বলের মতো পরম স্থির আচরণ প্রদর্শন করে।

শাকিল মাহমুদ সজল

শাকিল মাহমুদ সজল

সফটওয়্যার প্রকৌশলী ও লেখক, ঢাকা, বাংলাদেশ। কম্পিউটার বিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, ইতিহাস ও ভাবনার সমন্বয়ে ব্যক্তিগত নোট ও প্রবন্ধ সংকলন।