চিরায়ত পরিসংখ্যানিক বলবিদ্যায় অনিশ্চয়তা ছিল নিছক অজ্ঞতাপ্রসূত: প্রতিটি পরমাণুর নির্দিষ্ট অবস্থান ও ভরবেগ থাকলেও $১০^{২৩}$টি স্থানাঙ্ক একসাথে মাপা আমাদের পক্ষে অসম্ভব ছিল। কিন্তু কোয়ান্টাম জগতে অনিশ্চয়তা সহজাত ও মৌলিক। একটি আণুবীক্ষণিক কণা একই সাথে একাধিক অবস্থার উপরিপাতনে (quantum superposition) থাকতে পারে, কিন্তু যখন এটি একটি ম্যাক্রোস্কোপিক তাপীয় পরিবেশের সংস্পর্শে আসে, তখন কোয়ান্টাম ফেজের সূক্ষ্ম ব্যতিচার নষ্ট হয়ে ক্লাসিক্যাল সম্ভাবনায় পরিণত হয়। ১৯২৭ সালে হাঙ্গেরীয় গণিতবিদ জন ভন নিউম্যান এবং সোভিয়েত পদার্থবিদ লেভ ল্যান্ডউ কোয়ান্টাম পরিসংখ্যানিক বলবিদ্যার এক সার্বজনীন গাণিতিক ভাষা প্রতিষ্ঠা করেন: ডেনসিটি ম্যাট্রিক্স তত্ত্ব (Density Matrix Formalism)।
বিশুদ্ধ দশা বনাম পরিসংখ্যানিক মিশ্র দশা
প্রচলিত কোয়ান্টাম মেকানিক্সে একটি বিচ্ছিন্ন ব্যবস্থাকে হিলবার্ট স্পেসের একটি স্টেট ভেক্টর $|psirangle$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়, যাকে বলা হয় বিশুদ্ধ দশা (Pure State)। এখানে যেকোনো পর্যবেক্ষণযোগ্য অপারেটর $hat{A}$-এর প্রত্যাশিত মান $langle hat{A} rangle = langle psi | hat{A} | psi rangle$। কিন্তু তাপীয় ব্যবস্থায় আমরা দ্বিমুখী অনিশ্চয়তার মুখোমুখি হই: প্রথমত প্রকৃতির সহজাত কোয়ান্টাম অনিশ্চয়তা, এবং দ্বিতীয়ত ব্যবস্থাটি ঠিক কোন কোয়ান্টাম অবস্থায় প্রস্তুত হয়েছে তা না জানার চিরায়ত পরিসংখ্যানিক অজ্ঞতা।
ধরা যাক, ব্যবস্থাটি $p_i$ সম্ভাবনাসহ $|psi_irangle$ অবস্থায় থাকার সম্ভাবনা রয়েছে। তখন $hat{A}$-এর গড় মান হিসাব করতে ভন নিউম্যান সমস্ত এনসেম্বলকে একটি একক রৈখিক অপারেটরে আবদ্ধ করেন, যার নাম ডেনসিটি অপারেটর ($hat{rho}$):
$$hat{rho} = sum_{i} p_i |psi_irangle langle psi_i|$$
যেকোনো অর্থোনরমাল বেসিসের সাপেক্ষে অপারেটর ট্রেস (trace) গ্রহণ করে যেকোনো ভৌত রাশির গড় মান সরাসরি পাওয়া যায়:
$$langle hat{A} rangle = operatorname{Tr}(hat{rho} hat{A})$$
ডেনসিটি ম্যাট্রিক্সের গাণিতিক বৈশিষ্ট্য
প্রতিটি বাস্তব ডেনসিটি ম্যাট্রিক্স চারটি অলঙ্ঘনীয় গাণিতিক শর্ত মেনে চলে:
- হারমিশিয়ান প্রতিসাম্য: $hat{rho}^dagger = hat{rho}$, যা নিশ্চিত করে এর আইগেনমানগুলো সর্বদা বাস্তব সংখ্যা।
- ট্রেসের একক মান: $operatorname{Tr}(hat{rho}) = sum_i p_i = 1$, যা মোট সম্ভাবনার নিত্যতা নির্দেশ করে।
- ধনাত্মক সেমি-ডেফিনিটনেস: যেকোনো স্টেট ভেক্টরের জন্য $langle phi | hat{rho} | phi rangle ge 0$।
- বিশুদ্ধতার মাপকাঠি: $operatorname{Tr}(hat{rho}^2) le 1$। যদি ব্যবস্থাটি নিখুঁত বিশুদ্ধ অবস্থায় থাকে, তবেই কেবল $operatorname{Tr}(hat{rho}^2) = 1$ হয়। যেকোনো মিশ্র দশার জন্য এর মান ১-এর কম।
শক্তির বেসিসে ডেনসিটি ম্যাট্রিক্সের কর্ণ উপাদানগুলো $rho_{nn}$ নির্দেশ করে প্রতিটি শক্তিস্তরে কণা পাওয়ার ক্লাসিক্যাল সম্ভাবনা (populations), আর অ-কর্ণীয় উপাদানগুলো $rho_{nm}$ ($n ne m$) নির্দেশ করে বিভিন্ন কোয়ান্টাম স্তরের মধ্যকার ফেজ ব্যতিচার (quantum coherences)। তাপীয় ডিকোহেরেন্সের কারণে এই অ-কর্ণীয় উপাদানগুলো দ্রুত শূন্যে মিলিয়ে যায়।
ভন নিউম্যানের গতি সমীকরণ ও ভন নিউম্যান এন্ট্রপি
শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ থেকে সরাসরি ডেনসিটি অপারেটরের কালানুক্রমিক পরিবর্তন প্রতিপাদিত হয়, যাকে বলা হয় ভন নিউম্যান সমীকরণ (লিওভিল উপপাদ্যের কোয়ান্টাম রূপ):
$$ihbar frac{partial hat{rho}}{partial t} = [hat{H}, hat{rho}]$$
তাপীয় সাম্যাবস্থায় ডেনসিটি অপারেটর সময়ের সাপেক্ষে স্থির থাকে ($partial hat{rho} / partial t = 0$), যার ফলে $[hat{H}, hat{rho}] = 0$। ক্যানোনিকাল এনসেম্বলে এর রূপ দাঁড়ায়:
$$hat{rho}_{text{canonical}} = frac{1}{Z} e^{-beta hat{H}}, quad Z = operatorname{Tr}(e^{-beta hat{H}})$$
একটি কোয়ান্টাম পরিসংখ্যানিক ব্যবস্থার লুকায়িত তথ্যের ঘাটতি বা বিশৃঙ্খলা পরিমাপ করতে ভন নিউম্যান প্রতিষ্ঠা করেন বিখ্যাত কোয়ান্টাম এন্ট্রপি সমীকরণ:
$$S_{text{vN}} = -k_B operatorname{Tr}(hat{rho} ln hat{rho})$$
যেকোনো বিশুদ্ধ দশায় ভন নিউম্যান এন্ট্রপির মান নিখুঁত শূন্য ($S_{text{vN}} = 0$); আর $d$-মাত্রার হিলবার্ট স্পেসে সম্পূর্ণ বিশৃঙ্খল মিশ্র দশায় এর মান দাঁড়ায় $S_{text{vN}} = k_B ln d$। ভন নিউম্যানের হাত ধরে কোয়ান্টাম বলবিদ্যা ও তাপগতিবিদ্যা এক অবিচ্ছেদ্য তত্ত্বে পরিণত হয়।
